Aufgabe:
Seien \( T_{0}, T_{1}, \ldots, T_{n} \) die Tschebyscheff-Polynomen bis Grad \( n \). Seien \( x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} \) die Tschebyscheff-Knoten, d.h. es gilt
\( x_{j}=\cos \left(\left(j+\frac{1}{2}\right) \frac{\pi}{n+1}\right), \quad j=0, \ldots, n \)
Sei \( w:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R} \) definiert als \( w(x)=\left(1-x^{2}\right)^{-1 / 2} \). Betrachten Sie das entsprechende gewichtete \( L^{2} \)-Skalarprodukt und die \( L^{2} \)-Norm
\( (f, g)=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) w(x) d x, \quad\|f\|^{2}=(f, f) \)
Sei \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. Die einzige Minimalstelle von
\( \min _{p \in \mathcal{P}_{n}}\|f-p\| \)
ist dann durch
\( \hat{p}=\frac{1}{2} \hat{c}_{0}+\hat{c}_{1} T_{1}+\cdots+\hat{c}_{n} T_{n} \)
gegeben, mit
\( \hat{c}_{j}=\frac{2}{\pi}\left(T_{j}, f\right) \)
(a) Approximieren Sie \( \hat{p} \), indem Sie \( \hat{c}_{j} \) mit Hilfe der Gauß-Quadraturformel annähern. Welches Polynom erhalten Sie?
(b) Sei \( p_{f} \) das interpolierende Polynom von \( f \) zu den Tschebyscheff-Knoten. Berechnen Sie den Fehler \( \left\|p_{f}-\hat{p}\right\| \) mit Hilfe der Koeffizienten.
Ansatz/Problem:
Bei Aufgabenteil (a):
Wenn ich das richtig sehe, dann werden die \( { \hat { c } }_{ j } \) über das \( L^{2} \)-Skalarprodukt definiert. Ich weiß aber auch da leider nicht so recht wie ich das berechnen soll.
