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Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) gegeben durch \( w=f(z)=z^{3} \) und \( w_{0}=1 \) ein Bildpunkt von \( f \).

Zeigen Sie,

(i) dass \( z_{1}=1, z_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i \) und \( z_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3} i \) Urbilder von \( w_{0} \) sind;

(ii) dass es Umgebungen \( U \) von \( z_{1} \) und \( V \) von \( w_{0} \) gibt, so dass \( f \) eine eindeutige stetige Inverse \( f^{-1}: V \rightarrow U \) hat.

Steht die Eindeutigkeit der inversen Funktion \( f^{-1} \) aus (ii) im Widerspruch zu den drei Urbildern aus (i)?

Tipp: Spalten Sie die komplexe Funktion \( f \) in Real- und Imaginärteil auf und identifizieren Sie \( f \) mit einer Abbildung \( \tilde{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \).


Ansatz/Problem:

Mir ist zwar klar wie ich zeigen kann das etwas ein Urbild ist etc, allerdings stört micht das komlpexe Funktionen sind.

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Dazu sollte man schon mal informiert sein, was man unternehmen könnte, sobald komplexe Zahlen zu multiplizieren sind ... schon mal gemacht ?

In vorliegendem Fall könnte noch die binomiale Methode zum Erfolg führen - wenn auch mit etwas viel Geschreibsel.

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