Was ist eine Polstelle und was ist eine Lücke?

Question

Was sagt eine Pollstelle aus und eine Lücke..??

Answer 1

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion,also z.B.

f(x) = (x+3) / (x-2)

Also einen Term im Nenner und einen im Zähler.

Eine Definitionslücke haben wir, wenn der Nenner 0 wird.(Man darf ja nicht durch 0 teilen).

Ist an dieser Definitionslücke (in unserem Fall bei x=2) der Zähler ungleich 0, so  haben wir eine Polstelle im Punkt 2.(Tritt hier auf.)

Ist jedoch der Nenner und der Zähler an diesem Punkt =0 so nennt man dies eine hebbare Lücke.

Beispiel für eine hebbare Lücke:
f(x) = (x^2-4x+4) / ( x-2)

Definitionslücke bei x=2

ABER:

2^2-4*2+4 = 0

Also haben wir im Punkt f(2) dann 0/0, das wäre aber dann nicht definiert.
Jedoch:

==> Hebbare Lücke.

Wir können unsere Lücke heben:

Es gilt x^2-4x+4 = (x-2)^2

Also:
f(x) = ((x-2)^2) / (x-2)  ==> Wir kürzen ==> f(x) = (x-2) und damit f(2) = 0.

Comments

Ich bitte dabei nur zu beachten,dass der Ausdruck $$\frac {0}{0} $$nicht definiert ist, von daher würde ich davon abraten diesen als Begrüdung hinzuschreiben.

Korrekt ist es, den Grenzwert zu berechnen:

$$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) $$. Existiert dieser, so ist die Lücke hebbar.

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Habs geändert :)

Answer 2

eine Polstelle ist eine Lücke - halt nur eine besondere Form davon.

Es gibt hebbare Lücken, die den Funktionsverlauf nicht weiter stören,

und es gibt Polstellen, an denen gehen die Grenzwerte gegen+-unendlich.