Seien A und B affine Unterräume von V, zeigen Sie dass auch der (nichtleere) Schnitt ein affiner Unterraum von V ist.

Question

Seien A und B affine Unterräume von V, so dass A∩B ≠ ∅ gilt. Zeigen Sie, dass auch A∩B wieder ein affiner Unterraum von V ist.

Bin mir bei der Lösung nicht sicher. Habe mir ein Element aus dem Schnitt genommen und damit den Schnitt so umgeformt, dass er die Form eines affinen Unterraums hat.

Sei b∈A∩B <=> A=b+U ∧ B=b+W mit U,W UVR von V

Sei nun x∈A∩B

<=> x∈A ∧ x∈B

<=> x∈b+U ∧ x∈b+W

<=> x-b∈U ∧ x-b∈W

<=> x-b∈U∩W

<=> x∈b+U∩W

und damit A∩B=b+U∩W ein affiner Unterraum von V.

Answer 1

Sei b∈A∩B <=> A=b+U ∧ B=b+W mit U,W UVR von V

Sei nun x∈A∩B

<=> x∈A ∧ x∈B

<=> x∈b+U ∧ x∈b+W

<=> x-b∈U ∧ x-b∈W

<=> x-b∈U∩W

<=> x∈b+U∩W

und damit A∩B=b+U∩W ein affiner Unterraum von V.
denn der Schnitt zweier Untervektorräume ist
selbst wieder ein Untervektorraum.