Hallo ihr lieben, seit einigen Tagen versuche ich schon einen Beweis zu verstehen.
Es handelt sich um einen Satz aus der Funktionalanalysis:
Satz:
Sei {Ai}i=1,2,... eine monoton wachsende (oder fallende) beschränkte Folge hermitescher Operatoren. Dann ist {Ai}i=1,2,.. schwach konvergent gegen einen beschränkten hermiteschen Operator A, dh. für alle x ∈ X konvergiert die Folge {Aix} gegen Ax.
(X ist hierbei ein K-Hilbertraum).
Beweis:
Nach Voraussetzung konvergiert für alle x ∈ X die Folge {<Aix,x>}i=1,2,...
Dann konvergiert auch für alle x,y ∈ X die Folge {<Aix,y>}i=1,2,... , denn ist K = ℝ, so gilt für einen hermiteschen Operator B:
<B,xy> = 1/4 [<B(x+y), x+y> - <B(x-y), x-y>] und.....für K = ℂ (blabla)
Die erste Folgerung hieraus ist dann:
Also konvergiert die Folge {Ai} zunächst einmal punktweise schwach, dh. zu jedem x ∈ X gibt es genau ein Ax ∈ X , sodass für alle y ∈ X gilt: lim <Aix,y> = <Ax,y>. Offenbar ist die Abbildung x → Ax linear, beschränkt und hermitesch.
Zunächst erst einmal meine Fragen hierzu:
1) Zu dem ersten rotmarkierten: Die Voraussetzung ist, dass {Ai} monoton und beschränkt ist, aus Ana 1 weiß ich, dass dies immer Konvergenz impliziert. Wäre der Beweis damit nicht schon zu ende? Wenn nein, wieso konvergiert diese für alle x ∈ X und wieso impliziert genau das, dass es auch für alle x,y ∈ X konvergiert?
2) Wie kommt man auf diese Gleichung : <B,xy> = 1/4 [<B(x+y), x+y> - <B(x-y), x-y>] und wieso nimmt man einen beliebigen heriteschen Operator B und nicht A (ist das nur eine Sache des Stils?)
Hierzu fällt mir nur eines ein: In einem Lemma vorher wurde innerhalb eines Beweises gezeigt, dass <x,y> := 1/4 [ ||x+y||² - ||x-y||² ] hermitescher Form ist. Deher nehme ich an, dass dies verwendet wurde, jedoch komme ich da nicht wirklich drauf.
Die andere Gleichung für K = ℂ sieht etwas anders aus, aber ich denke, da komme ich selbst drauf, da dies wahrscheinlich Analog zu betachten ist.
3) Wieso folgt nun aus den Gleichungen die punktweise schwache konvergenz?
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Nun geht der Beweis weiter:
Die Folge {Ai} sei monoton steigend. o.B.d.A gelte 0 ≤ Ai ≤ 1/2 (Dies ist erlaubt, da eine Ordnungsrelation auf hermiteschen Operatoren definiert werden kann).
Für n ≥ m gilt dann An - Am ≥ 0 und || An - Am || ≤ 1 (Dies ist mir wegen der Ordnungsrelation oben klar). [Mit Cauchy-Schwarz und |<Ax,y>|² ≤ <Ax,x> <Ay,y> kommt man auf folgende Abschätzungen]:
<(An - Am)x, (An - Am)x>²
≤ <(An - Am)x, x> <(An - Am)²x, (An - Am)x>
≤ <(An - Am)x, x> ||x||²
⇒ || Anx - Amx || ^4 ≤ ε ||x||²
Für genügens große n, m wegen der punktweisen schwachen konvergenz. Also ist {Aix} konvergent.
q.e.d
Letzte Frage:
Wie kommt man auf die letzte rotmarkierte Abschätzung und wieso kommt man auf die letzte Implikation?
Im letzten Schritt wurde gezeigt, dass Ai eine Cauchy-Folge ist, oder?
für Hilfen!
