Umkehrfunktion von Polynomen nten Grades?

Question

gibt es eine Formel, mit der man allgemein die Umkehrfunktion eines Polynomes von ntem Grad bestimmen kann?

Bei n = 1 hat man ja (x-b)/a = y(x) als Umkehrfunktion.

Bei n= 2 ist (-b +/-sqrt(4ax + bx - 4ac))/(2a) die Umkehrfunktion.

Nur wie kann man das  auf alle n Element N übertragen?

Comments

Ich interpretiere Deine Frage so, dass Du nach Lösungsformeln für Gleichungen n-ten Grades fragst. Fuer n=1 und n=2 hast Du was angegeben. (n=2 stimmt aber so nicht ganz.) Es gibt noch Formeln für n=3 und n=4. Die sind aber ziemlich kompliziert  und produzieren komplexwertige Zwischenergebnisse, auch dann wenn die Lösungen am Ende alle reell sind. Fuer n>=5 gibt es keine allgemeinen Lösungsformeln mehr, in denen nur die vier Grundrechenarten und Wurzeln vorkommen. Das hat Abel schon 1824 gezeigt.

Answer 1

mir bekannte 'Formel' für Polynome n-ten Grades geht wie folgt:

Für irgendein Polynom (nicht zwingend eine ganzrationale Funktion)

$$y(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+cx+d$$ ist die Umkehrfunktion gegeben, in dem man y(x) nach x=.....auflöst.

Comments

Das reduziert sich ja dann auf die Frage nach den Nullstellen von \(ax^n+bx^{n-1}\ldots+cx+d-y\), und ob man die formelmaessig finden kann.