DGL n-ter Ordnung , charaktieristisches Polynom

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Wir betrachten die lineare Differentialgleichung \( n \) -ter Ordnung
$$ x^{(n)}+\sum \limits_{j=0}^{n-1} a_{j} x^{(j)}=0 $$
mit den gegebenen Anfangswerten
$$ x\left(t_{0}\right)=x_{0}, \dot{x}\left(t_{0}\right)=x_{1}, \ldots, x^{(n-1)}\left(t_{0}\right)=x_{n-1} $$
Transformieren Sie die Gleichung auf ein System erster Ordnung \( \dot{u}=A u \) und berechnen Sie das charakteristische Polynom von \( A \). Wann löst \( x(t)=e^{\lambda t} \) die DGL?

:)
wir sitzen gerade an folgender Aufgabe und kommen nicht so wirklich weiter, würden uns daher über Hilfe sehr freuen :)

Liebe Grüße

Comments

Beispiel:

y'' + 3y' - 5y = 0 (n=2)

Wir setzen \( y_0 := y,~ y_1 := y' \), dann ist \( y_0' = y_1 \) und \( y_1' = y'' \). Also erhalten wir die Gleichungen

$$ y_0' = y_1 \\ y_1' = 5y_0 - 3y_1 $$

Mit \( u := (y_0, y_1)^T \) ist \( u' = (y_0', y_1')^T \) und somit

$$ u'=\begin{pmatrix} 0 & 1\\5&-3\end{pmatrix} u $$

Versucht dieses Prinzip jetzt zu verallgemeinern. Wie man ein charakteristisches Polynom berechnet solltet ihr wissen.