DGL n-ter Ordnung , charaktieristisches Polynom

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Wir betrachten die lineare Differentialgleichung $n$ -ter Ordnung
$$x^{(n)}+\sum \limits_{j=0}^{n-1} a_{j} x^{(j)}=0$$
mit den gegebenen Anfangswerten
$$x\left(t_{0}\right)=x_{0}, \dot{x}\left(t_{0}\right)=x_{1}, \ldots, x^{(n-1)}\left(t_{0}\right)=x_{n-1}$$
Transformieren Sie die Gleichung auf ein System erster Ordnung $\dot{u}=A u$ und berechnen Sie das charakteristische Polynom von $A$. Wann löst $x(t)=e^{\lambda t}$ die DGL?

:)
wir sitzen gerade an folgender Aufgabe und kommen nicht so wirklich weiter, würden uns daher über Hilfe sehr freuen :)

Liebe Grüße

Comments

Beispiel:

y'' + 3y' - 5y = 0 (n=2)

Wir setzen $y_0 := y,~ y_1 := y'$, dann ist $y_0' = y_1$ und $y_1' = y''$. Also erhalten wir die Gleichungen

$$y_0' = y_1 \\ y_1' = 5y_0 - 3y_1$$

Mit $u := (y_0, y_1)^T$ ist $u' = (y_0', y_1')^T$ und somit

$$u'=\begin{pmatrix} 0 & 1\\5&-3\end{pmatrix} u$$

Versucht dieses Prinzip jetzt zu verallgemeinern. Wie man ein charakteristisches Polynom berechnet solltet ihr wissen.