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Ich habe bereits bei Übung 33 die Lagebeziehung zwischen E und E1 untersucht, die beiden Ebenen sind echt parallel. Ich verstehe allerdings jetzt nicht wie ich weitermachen soll. In der kurzgefassten Lösung steht noch der Punkt P(2/2/-2). Was ist das für ein Punkt und wie erkenne ich ob er in der Ebene liegt?

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Hi, das ist doch der Aufpunkt von \(E_1\). Der liegt sicher auf \(E_1\) und es ist ggf. zu prüfen, ob er auch auf \(E\) bzw. \(E_2\) liegt.
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Ja, aber wie finde ich den raus. In der Aufgabenstellung ist der Punkt nicht aufgeführt...ist es also egal welchen Punkt ich nehme, er muss nur in der Ebene liegen?

Im Prinzip ist das egal, aber der Punkt \((2,2-2)\) ist doch als Aufpunkt Teil der Parametergleichung von \(E_1\), also alles andere als "nicht aufgeführt"!

Tja, dass passiert wenn man die Vokabeln nicht ausreichend beherrscht... danke für die Hilfe

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Es ist

E: x + 3*y + 2*z = 6 (das ist eine Koordinatenform)

E2 wandeln wir auch mal in eine Koordinatenform um:

$$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\6\\4 \end{pmatrix}  = 12 $$

$$ 2x + 6y + 4z = 12 $$

E1 wandeln wir von der Parameterform in eine Koordinatenform (Normalform) um:

$$ \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\-2\\1 \end{pmatrix}  = 4n_1 - 2n_2 + n_3 = 0$$

$$ \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\2\\-3 \end{pmatrix}  =  2n_2 - 3n_3 = 0 $$

Hieraus ergibt sich beispielsweise der Normalenvektor

$$ \vec n = \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} $$

-> Normalenvektor hätte man auch über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren erhalten können.

$$ (\vec x - \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} ) \cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $$

$$ x + 3y + 2z = 4 $$

Ebene E zu E2:

Dividiert man die Gleichung E2 durch 2, so erhält man die 1. Gleichung. Damit sind die Gleichungen äquivalent. Die Ebenen E und E2 sind identisch.

Ebene E zu E1:

Die jeweilige linke Seite der Gleichungen sind identisch, aber die jeweilige rechte Seite nicht. Die Ebenen E und E1 haben zwar die gleiche Richtung (da gleicher Normalenvektor), aber sind nicht gleich. Sie stehen parallel zueinander.

Der Punkt $$ \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} $$ ist ein Punkt auf der Ebene E1.

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