Ich soll den Flächeninhalt von einem Graphen herausbekommen.

Question

Intervall [0;2]

Funktion: f(x)=-x^2+4

U_(4) = 2/n (f(0)+f(2/n)+f(2*2/n)....f(2(n-1)/n)

weiter komme ich nicht, da ich den Flächeninhalt nur mit der Funktion y=x^2 herausbekommen habe...

Aber wir sollen es so machen wie auf dieser PDF Seite

http://www.mathe-schule.de/download/pdf/Mathematik/Flaeche_x_hoch_2_a_b_L.pdf

Könnte mir Jemand die nächsten zwei Schritte machen, denn ich denke, den Rest kriege ich hin :)

Answer 1

Wenn ich das richtig lese, sollst du die Untersumme U₄ also für n=4 bestimmen:

U₄ = 2/4 * [ 4 - (2/4)² +4 - (4/4)² + 4 - (6/4)² + 4 ] = 6,25

Comments

oh nein ich meinte da soll U_n stehen :/

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keine Antwort? :(

Answer 2

Für die Untersumme Nr. n musst du f einsetzen.
f(x)=-x²+4 = 4 -x^2
U_n=2/n (f(0)+f(2/n)+f(2*2/n)....f(2(n-1)/n)

nächster Schritt: 

U_n=(2/n )( 4 +(4 -(2/n)^2) +(4 -2*(2/n)^2) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)^2 ) )

und nun vereinfachen:

U_n=(2/n )( 4n +(-(2/n)^2 -2*(2/n)^2) -.... - (2(n-1)/n)^2 ) ))

U_n=(2/n )( 4n  -(2/n)^2 (1 + 2^2 + ..... (n-1)^2 ) 

Rechne mal nach. 

Du solltest dann eine Formel für die Summe der ersten n-1 Quadratzahlen finden/kennen. 

usw. 

Comments

VIELEN DANK *_*

Doch was hast du jetzt genau gemacht zwischen

U_n=(2/n )( 4 +(4 -(2/n)²) +(4 -2*(2/n)²) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)² ) )

und

U_n=(2/n )( 4 +(4 -(2/n)²) +(4 -2*(2/n)²) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)² ) )

also was hast du vereinfacht bzw. zusammengefasst :D

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warum 4n ?? es ist doch eher 16?

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ich denke so ist es eher richtig;

U_n=(2/n )( 16  -(2/n) (1 + 2² + ..... (n-1)² )  hier 

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Bei U_n willst du n Summanden haben und nicht bloss 4. Zumindest gemäss deinem Kommentar zur andern Antwort.

Da kommt n mal die Vier vor. Daher 4*n und nicht nur 4*4.

Zudem musst du alle x^2 noch zusammen addieren.

und x ist der Reihe nach

0= 0*2/n, 2/n= 1*2/n, 2*2/n, 3*2/n usw. bis (n-1)*2/n

Jetzt jeden einzelnen dieser Werte Quadrieren.

dachte ich zumindest.

Beachte aber die Form von 4 -x^2.

Die Kurve ist im Intervall [0,2] monoton fallend. Daher ist jeweils links in den Streifen der höchste Funktionswert und rechts der kleinste. Meine Rechnung bezog sich als auf O_n

Für U_n rechnest du besser mit den rechten Intervallgrenzen.

Also

  f(x)=-x²+4 = 4 -x²  
  U_n=2/n (f(2/n)+f(2*2/n)....f(2(n-1)/n) + f(2))

nächster Schritt: 

U_n=(2/n )((4 -(2/n)²) +(4 -2*(2/n)²) + ......+ ( 4 - (2(n-1)/n)² ) + (4 - (2n/n)^2)

und nun vereinfachen:

U_n=(2/n )( 4n +(-(2/n)² -2*(2/n)² -.... - (2(n-1)/n)² ) - (2n/n^2 ))

U_n=(2/n )( 4n  -(2/n)² (1 + 2² + ..... (n-1)² + n^2)  

Du wirst die Summenformel der ersten n Quadratzahlen benötigen.