f(x) = (x−1)* wurzel ( x ). Extremstellen und Nullstellen berechnen

Question

ich habe als Mathe Hausaufgabe die Funktion

f(x)= (x−1)*√ x

leider habe ich Schwierigkeiten die Extrem- und Nullstellen zu berechnen.

ich habe bisher folgendes hinbekommen:

f(x)=(x−1)*√ x

=(x−1)*x^0.5

=x^1,5-x^-0,5

f'(x)=1,5x^0,5-0,5x^-0,5

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank schon mal  :)

LG Alina

Comments

(x−1)*x^0.5

x^1,5-x^-0,5  | hier stimmt es leider nicht

sondern

( x - 1 ) * x^0.5
x^1 * x^{0.5} - 1 * x^{0.5}
x^{1.5} - x^{0.5}

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Hi, es gibt zwei Extrempunkte!

Answer 1

zuerst musst du die Funktionsgleichung 0 setzen, um den Nullpunkt zu bestimmen.

f(x) = 0

Um die Extremwerte zu bestimmen solltest du die erste Ableitung 0 setzen.

f'(x) = 0

Somit ergibt sich:

Nullpunkt:

(x-1)*√x = 0

Wenn wir für x eine 0 einsetzen würden käme:

0 = 0 raus was eine wahre Aussage ist und somit befindet sich die erste Nullstelle bei N₁(0|0).

Als nächstes wird die Klammer ins Visier genommen und wir setzen diese gleich 0.

x -1 = 0 / + 1

x = 1

Der nächste Nullpunkt liegt bei N₂(1|0).

Extremwerte:

Ich habe die erste Ableitung der Funktion vereinfacht:

(3x - 1) / (2*√x) = 0

(3*1/3 - 1) / (2*√1/3) = 0

0 = 0

Nun setzt du x=1/3 in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein und errechnest dir den y-Wert.

Also:

(1/3-1)*√1/3 = (-2*√1/3)/3

Der Extremwert liegt bei (1/3 | (-2*√1/3)/3)

Als nächstes könnte ermittelt werden ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Um dies zu ermitteln sollten wir die zweite Ableitung berechnen und in diese den x-Wert des Extremwerts einsetzen. Wenn es sich im Ergebnis um eine positive Zahl handelt, ist es ein Tiefpunkt, andernfalls ist es ein Hochpunkt.

Comments

Sieht schön übersichtlich aus!

Ein Detail: Mit √1/3 meinst du, dass Wurzel aus (1/3) zu ziehen ist. Schreibe das als √(1/3). Klammern zeigen an, wie weit die Wurzel geht. 

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Ich verstehe leider nicht wie du auf diese vereinfachte Ableitung kommst bei der Extremwertbestimmung.....

Kannst du das vielleicht noch mal näher erklären?

Wäre super nett

vielen lieben Dank  :)

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Die Vereinfachung der Ableitung kannst du als Bruchsubtraktion ansehen

f(x)= (x−1)*√ x = x^{1.5} - x^{0.5}

f '(x) = 1.5 x^{0.5} - 0.5 x^{-0.5} 

= 1.5 x^{0.5} - 0.5 / x^{0.5} 

= (1.5 x)/x^{0.5} - 0.5/x^{0.5} 

= (1.5 x - 0.5)/√x 

Nun kommst du für die Nullstelle der Ableitung auf x = 1/3. Du brauchst ja nur den Zähler 0 zu setzen. 

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Vielen Dank :)

Aber mit welcher Regel bist du von dem 1.5 x^0.5 zu dem (1.5 x)/x^0.5  gekommen?

Mir war nicht klar, dass man das so machen kann....

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Bruchaddition. Genau wie bei:

1 + 1/2

= 2/2 + 1/2 = 3/2

überleg dir mal, was man hier genau macht.

Nun analog: 

 1.5 x^0.5 = (1.5 x^{0.5} * x^{0.5})/x^{0.5} = (1.5 x^1)/(x^{0.5} = (1.5x)/x^{0.5} 

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x^{0.5} = x^{1-0.5} = x^1 / x^{0.5} = x / x^{0.5}

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Richtig! So geht das auch, und erst noch schneller.

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Jetzt verstehe ich es endlich. :)

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Ich weiß ich nerve, aber eine kleine Frage habe ich noch:Du hast ja gesagt ich soll den Zäher 0 setzen.... was meinst du damit?Ich weiß wenn ich 1/3 als x einsetze komme ich auf 0 und habe damit meine Stelle, aber es kann doch nicht einfach nur pures Raten sein, oder? Also wie löse ich nach x auf?

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Wenn du in f'(x) = (1.5 x - 0.5)/√x im Zähler 1.5 ausklammerst,

ist die einzige Nullstelle offensichtlich.

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Danke, manchmal bin ich echt dämlich  XD

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Du hast ja gesagt ich soll den Zäher 0 setzen.... was meinst du damit ?

Man kann ganz formell vorgehen
( Auch für später als Muster )
f ' ( x ) = (1.5 x - 0.5) / √x

Extremstelle
f ' ( x ) = (1.5 x - 0.5) / √x = 0
(1.5 x - 0.5) / √x = 0

Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist. Also
1.5 x - 0.5 = 0
Den Rest kannst du.