Bestimmen Sie sup und inf der Menge

Question

Bestimmen sie das sup und das inf der menge $$ D=\left\{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n }+n } ,\quad n\quad \epsilon \quad { N }^{ + }\quad  \right\}  $$

meine vermutung ist sup D = 1/3 jedoch fällt es mir schwer dies zu zeigen 
inf D = 0 

Comments

Mit größer werdendem n werden die Elemente aus D immer kleiner.

Answer 1

Vermutung ist richtig. Wo ist das Problem? Es folgt doch da \(n \geq 1\) sofort aus \( 3 \leq 2^n+n \).

Gruß

Comments

In meiner Aufgabenstellung steht das ich meine Behauptung beweisen soll ...

Das was du mir gezeigt hast hatte ich auch heraus aber kann man das als Beweis gelten lassen ?!

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Mir würde es reichen, aber (!): Grundsätzlich wenn du dir unsicher bist, ob ein Beweis ausreicht, dann tut er es für dich nicht. Man sollte schon argumentieren können, warum das ausreicht. Wenn man weiß warum, kann man das nach eigener Meinung offensichtliche weglassen. Ich geh davon aus, dass du noch am Anfang deines Studiums bist. Grade da soll man ja Beweise schön ausführlich machen (damit man die Grundlagen der Beweisführung lernt).
Das bedeutet konkret für dich:
Warum kann man aus der Ungleichung schließen, dass das Supremum der Menge 1/3 ist?

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Ich denke dass man einfach daraus schließen kann da n immer größer wird betrachte ich mein kleinstes n also n=1

Da ab diesem Zeitpunkt die Ungleichung schon gilt gilt sie für jedes weitere n da die Potenz und eine Addition mit ner größer wird

Wahrscheinlich kann ich diese Aussage sogar mit der vollständigen Induktion beweisen ?!

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Damit hast du nur gezeigt, dass die obige Ungleichung für alle natürlichen Zahlen größer als 1 gilt. Diese Aussage steht schon da.

Es geht darum aus dieser Aussage zu schließen, dass 1/3 das Supremum deiner Menge ist. Mach es dir nicht zu kompliziert. Formuliere in der Sprache und Notation, die ihr bisher gelernt habt, das heißt zeige, dass 1/3 die Eigenschaften eines Supremums für diese Menge erfüllt.

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Vielen Dank für die Hilfe hab's gelöst ...

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Kannst natürlich deine Lösung gerne anfügen, wenn du möchtest, dass ich drüber schaue.

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Ich habe zur Überprüfung x>= s-ε für die obere Schranke. Dort erhalte ich dann für beliebiges ε>0 gilt diese Aussage.

Dass gleiche gilt für das infimum x<= r + ε mit beliebigen ε>0. dies gilt weil der lim Der Funktion für unendlich 0 ist .

Jetzt hab ich auch das Prinzip verstanden

Nochmal danke für die Hilfe !