e-Funktionen, Schnittpunkte mit einer parallelen Gerade

Question

Eine zur y-Achse parallele Gerade mit 0<x<2 schneidet den Graphen von f(x) = 8x*e^-x im Punkt P und den Graphen von g(x) = 4x²*e^-x im Punkt Q.

Für welchen Wert von x ist die Länge der Strecke PQ am größten?

Mir ist klar, dass es sich hier um ein Extremalproblem handelt, jedoch weiß ich nicht genau, welche Funktion die Hauptfunktion darstellt, noch weiß ich, was die Nebenfunktion ist.

Mein Ansatz, gilt für einen beliebigen Abstand zweier Punkte, demnach keiner parallelen Gerade, ist also falsch.

Trotzdem zeig ich ihn euch mal:

d=√[(x1-x2)²+[(8x*e^-x) -(4x²*e^-x)]]²

Abgeleitet sehe das ganze dann so aus:

d'=2*(x1-x2) - 12xe^-x +4x²e^-x

^{Da aber nur ein Intervall gegeben ist und keine klare x-Koordinate, kann ich diesen Rechenweg wohl canceln.}

^{Bitte um Eure Hilfe,}

^Luis

Comments

Hi, die Strecke PQ ist einfach

$$PQ=|f(x)-g(x)| \ , $$

denn die Schnittgerade ist vertikal und somit schneidet sie unsere Funktionen an derselben x-Stelle. Deine Formel ist für zwei Punkte, die an unterschiedlichen x-Stellen sind.

Ach und falls das mit dem Intervall verwirrt: Der Aufgabentext klingt, als hätte die Gerade eine Breite. Da Geraden jedoch unendlich dünn sind, ist damit wohl gemeint, dass du nur dieses Intervall für die Aufgabe betrachten sollst.

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Hi!

Vielen Dank für die Antwort, aber f(x)−g(x)  gibt aber nur den Abstand zwischen den beiden Graphen an, nicht aber in dem Intervall 0<x<2 und in einer Parallelen Ebene oder? 

Answer 1

Eine zur y-Achse parallele Gerade mit 0<x<2 schneidet den Graphen von
f(x) = 8x*e^-x im Punkt P und den Graphen von g(x) = 4x²*e^-x im Punkt Q.

Für welchen Wert von x ist die Länge der Strecke PQ am größten? 

Hoffentlich funktioniert der Plotter. Hier ein Beispiel für die Gerade x = 1.

~plot~ 8 * x * e^{-x} ~plot~

Comments

ehm der Plotter funktionierte nicht, aber irgendwie wurdest du zur besten Antwort ausgewählt :DD 
Was hast du getaan :DD

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Hier einmal mit einem anderen Plotter.
Dieser kann allerdings eine Gerade der Form x = 1 nicht darstellen.
x = 1 ist nur die Senkrechte bei x = 1

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Der Stern hat mich auch gewundert.
Ich habe diesen aber nicht selbst hinzugefügt.

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Oh man...Ich habe die ganze Zeit an eine zur x-Achse parallelen Gerade gedacht, es ist aber genau zur y-Achse parallel

1. Extremalbedingung / Hauptbedingung
   d = f(x) − g(x) soll maximal werden
2. Nebenbedingungen
   Da P bzw. Q auf dem Graphen von f bzw. g liegen, gilt:
   y_P = f(u) ?
   y_Q = g(u) ?

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@georgborn: Der Plotter funktioniert jetzt auch oben (einfach Seite neu laden). Problem war, dass die Caret-Umwwandlung das e^(-x) umgewandelt hat zu e^^-x und der Plotter damit nichts anfangen konnte. Das ist jetzt gefixt.

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f  ( x ) =  8 * x * e^{-x}
g ( x ) = 4 * x^2 * e^{-x}

d ( x ) =  8 * x * e^{-x} - 4 * x^2 * e^{-x}
d ( x ) = e^{-x } * ( 8x - 4x^2 )

Extrempunkt der Differenzfunktion ( Produktregel )
d ( x ) = e^{-x } * ( 8x - 4x^2 )
d ´( x ) = e^{-x } * ( -1 ) * ( 8x - 4x^2 ) + e^{-x} * ( 8 - 8x )
d ´ ( x ) = e^{-x } * ( ( -8x + 4x^2 ) + 8 - 8x )
d ´( x ) = e^{-x} * ( 4x^2 - 16x + 8 )
d ´( x ) = 4 * e^{-x} * ( x^2 - 4x + 2 )

x = 2 - √ 2
x = 2 +√ 2  ( außerhalb des Def-Bereichs )

x = 0.5858

Schauen wir einmal ob der Plotter funktioniert

~plot~ e^{-x} * ( 8*x - 4*x^2 ) ; 0.5858 ~plot~

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Hier der Graph mit einem Fremdplotter

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Lies auf der Plotlux-Seite, wie man den Zoom einstellt, ganz einfach eckige Klammern wie folgt anhängen:

~plot~ e^{-x}*(8*x-4*x^2);0,5858;[[-0,25|2,5|-0,5|2]] ~plot~

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Kai,

~plot~ e^{-x} * ( 8*x - 4*x^2 ) ; 0.5858 ~plot~

aus dem vorletzten Kommentar wird bei mir gar nicht
geplottet.

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Ich sehe ihn klar und deutlich. Firefox 40.0.3 unter Windows 7, 64 bit.

Hast du Firefox oder Chrome versucht?

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Hallo Kai,

ich arbeite mit Firefox 41.0, Windows 7, wahrscheinlich 64 bit.

Wir können in aller Ruhe versuchen hinter diesen Fehler zu kommen.
Ich führe gern weiter Tests durch.

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Wenn Fehler auftreten, sollten die bei uns beiden auftreten. Zumal wir das gleiche Betriebssystem und den gleichen Browser verwenden.

Meist hilft ein Blick in die Developer Console von Firefox, einfach Strg+Shift+K drücken und auf "Console" klicken. Dort stehen Fehlermeldungen und das, was der Plotter erkennt und ausgibt.

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Vielen Dank für die große Mühe und für das Ergebnis!

Ich benutze Chrome, und es funktioniert ebenfalls.

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Hallo Kai,
kann es sein das keine Leerzeichen in dem Ausdruck
sein dürfen ?
Jetzt sind die Grafiken vorhanden.
Ich probiere einmal
~plot~ e^{-x}*(8*x-4*x^2 )  ; 0,5858 ~plot~

~plot~ e^{-x}*(8*x-4*x^2 ) ;0,5858 ~plot~

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Nö. Jetzt wird beides angezeigt.
Die Sache ist beendet.