Finden Sie das Inverse zu 45 bezüglich in dem Ring *60 im Ring (Z60, +60, * 60)

Question

Aufgabe:

(a) Existiert ein Inverses zu 45 bezüglich \( \bullet_{60} \) in dem Ring \( \left(\mathbb{Z}_{60},+_{60}, \bullet_{60}\right) \) ?

(b) Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus finden Sie das Inverse zu 17 bezüglich \( \bullet_{60} \) in dem Ring \( \left(\mathbb{Z}_{60},+_{60}, \bullet_{60}\right) \).

Comments

Ich kenne die Definition von Z60 leider nicht.

Was ist denn das neutrale Element eurer Multiplikation?

45*n = 1 modulo 60

45*n = 61, 121, 181,… geht mE nicht. Da nie eine durch 3 teilbare Zahl in der Klasse 1 modulo 60 steht. Differenz ist immer 60.

Müsste die 0 rauskommen, ginge das:

45*n = 0, 60, 120….

n = 4 modulo 60

da 45*4 = 180.

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Ich vermute mal, dass ℤ₆₀={0...59} ist. So hatten wir das zumindest früher immer gehandhabt.

Answer 1

Zu a)  Ein multiplikatives Inverses von  45₆₀  kann es wegen  ggT(45,60) = 15 > 1  nicht geben.

Zu b)
(1)  60:17 = 3  Rest  9
       ⇔ 9 = 60 - 3·17
(2)  17:9 = 1  Rest  8
        ⇔ 8 = 17 - 1·9 = 17 - 1·(60 - 3·17) = 4·17 - 1·60
(3)  9:8 = 1  Rest  1
       ⇔ 1 = 9 - 1·8 = (60 - 3·17) - 1·(4·17 - 1·60) = 2·60 - 7·17.
Damit ist  (-7)₆₀ = 53₆₀  multiplikatives Inverses von  17₆₀.
Probe: 17₆₀·53₆₀ = 1₆₀.