Zeigen Sie, dass f(x) = sin(4x)^2 cos(8x) die Periode (π/2) besitzt

Question

Hallo liebes Forum,

nachdem ihr mir schon bei einem Problem so gut geholfen habt, möchte ich nochmal um Hilfe bitten.

Ich befinde mich im Mathe 1 Kurs im Studium (Informatik) und bin einiges am aufholen, da ich in Mathe nie sonderlich gut war/nicht richtig aufgepasst habe (von daher entschuldigt meine Dummheit).

Zur Übungszwecken zu lösen gelten folgende Aufgabe(n):

1) Zeigen Sie, dass f(x) = sin(4x)² cos(8x) die Periode (π/2) besitzt

2) Ermitteln Sie die kleinste Periode von f(x) = sin(x)cos(x)

3) Zeigen Sie, dass f(x) = x³ - 2x + 1 nicht periodisch ist

Ansätze

1) Mir ist bewusst, dass die Faktoren 4 (in sin(4x)²) und der Faktor 8 (in cos(8x)) zu einer Stauchung der Funktionen führen. Betrachte ich erst die Sinusfunktion, so würde für sin(4x) die Periode ja (1/4 π) lauten (hoffe das ist soweit richtig). Inwiefern wirkt sich dann das Quadrieren aus?
Und Vorallem: wie multipliziere ich sinus mit cosinus?

2) Selbes Problem wie bei 1.

3) Mir ist bewusst, dass sie definitiv nicht periodisch ist. Aber wie zeige ich das am besten bzw. wie kann ich das rechnerisch bzw. mathematisch beweisen?

Ich bedanke mich herzlichst im voraus :)

Answer 1

3) Mir ist bewusst, dass sie definitiv nicht periodisch ist. Aber wie zeige ich das am besten bzw. wie kann ich das rechnerisch bzw. mathematisch beweisen?

wäre es periodisch , dann gäbe es eine reelle Zahl p ≠ 0 mit

f (x) = f(x+n*p ) für alle n aus N.

Insbesondere wäre wegen f( 1) = 0

dann ja f( 1+n*p) = 0 für alle n aus N.

f hätte also unendlich viele Nullstellen.

Eine ganzrationale Fkt. 3. Grades hat aber höchstens 3.

Comments

2) Ermitteln Sie die kleinste Periode von f(x) = sin(x)cos(x)

Es ist sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2f(x)

Und weil sin(x) die Periode 2pi hat, hat sin(2x) die Periode pi.
Und der Faktor 2 vor dem f(x) macht nix.