Konvergenz von Reihen mit Exponentialfunktionen

Question

$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}$$ ist eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern.

Ich soll nun die folgenden Reihen nach Konvergenz untersuchen oder ein Gegenbeispiel geben.

Ich komme aber mit den Exponentialfunktionen nicht weiter, kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?

a.) $$ \sum_{n=0}^{\infty}{e^{a_n}-1} $$

b.) $$ \sum_{n=0}^{\infty}{}\frac { 1 }{ log(a_n) } $$

c.)$$\sum_{n=0}^{\infty}{(log(a_n)*a_n^2)}$$

Answer 1

Zu a) Aus \(a_n\to0\) folgt \((e^{a_n}-1)/a_n\to1\), also wegen \(a_n>0\) auch \(0<e^{a_n}-1<2a_n\).

Comments

Wieso machst du

(e^an-1)/an? also wieso die Division?

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Man kann machen, was man will, wenn am Ende was passendes bei rauskommt.

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Fuer c) kann man aus \(\lim_{x\to0+}x\log x=0\) folgern, dass \(-1<a_n\log a_n<0\) für grosse n gilt.

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Okay kannst du mir aber erklären wie du auf das kommst?