zeigen, dass eine Gruppe genau dann abelsch ist, wenn alle Äquivalenzklassen einelementig sind

Question

Meine Frage:
Sei (G,*) Gruppe und Relation auf G definiert mit:

a~b: <=> es existiert ein g Element G: a=g^{-1}bg

Nun soll ich zeigen, dass die Gruppe (G,*) genau dann abelsch ist, wenn alle Äquivalenzklassen bzgl. ~ einelementrig sind.

Meine Ideen:
Es handelt sich ja hier um eine Konjugationsklasse. Mir ist jedoch nicht klar, wie ich die beiden Aussagen miteinander verknüpfen soll, bzw. wie ich vom einen auf das andere schließen kann und wieder zurück.

Answer 1

G abelsch   und     a~b  

⇒    es existiert ein g Element G: a=g^-1bg   und wegen "abelsch"

⇒              a=g^-1gb   

also  a = b

Also : Wenn zwei El. in der gleichen Klasse sind, sind sie gleich.

Andererseits sind die Klassen nicht leer, da jedes El. in einer Klasse ist,

also sind die Klassen einelementig.

umgekehrt:    alle Äquivalenzklassen bzgl. ~ sind einelementig .

Da G eine Grupe ist gilt, wenn etwa e das neutrale El ist,
 für alle b aus G
e * b = b * e
außerdem für jedes a aus G  a^-1*a = a * a^-1 = e
also   (a^-1*a)*b = b*(a * a^-1)
da * assoziativ ist
      a^-1*(a*b) = (b*a) * a^-1  also von links mit amultipliziert
           a*b =   a *(b*a) * a^-1 
Also gilt a*b ~ b*a  und da die zugehörige Klasse
einelemnetig ist   a*b = b*a    also G abelsch.