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Sei m,n ∈ ℕ, A eine invertierbare (n x n - Matrix) mit Inverser A-1. Berechnen Sie Am x A-m , wobei

A-m := (A-1)ist und leiten Sie damit die inverse Matrix von Am her.


Normalerweise würde ich die Inverse ja so berechnen:

(Am | En ) → (Gauß) (En | A-1 )

En ist ja dasselbe wie Ax A-m . Also könnte ich doch folgendes machen:

(Am | Ax A-m ) → (Gauß) (Ax A-m | (Am)-1)  
Wäre das die Lösung?

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Bin mir nicht so ganz sicher,  aber du hast ja ,  soweit ich es verstanden habe da stehen :

A *A *A *..... A * A^{-1}*A^{-1}....*A^{-1}

Du kannst nicht direkt sagen,   dass dies gleich der einheitsmatrix ist.  Das ist ja genau das,  was du im Endeffekt zeigen sollst.

Wir wissen A* A^{-1} = E.

Was wir machen können bei  dem oberem Matrizenprodukt  : klammern um jeweils zwei Matrizen setzen.

Also setze  mal klammern um die beiden Matrizen in der Mitte :

A *A *A *..... (A * A^{-1} )    *A^{-1}....*A^{-1} 

Was steht nun in der Klammer?  Was können wir dann wieder anwenden?

Was ist dann also die inverse von A^m?

Stimmt! Ja klar, wieso bin ich nicht gleich draufgekommen? 
A * A-1 ergibt ja immer die Einheitsmatrix, da wir aber gleich viele Paare von A * A-1 haben,
haben wir also vereinfacht darstehen:

Ax A-m = (Enm = En

Das heißt doch, egal wie oft wir die Einheitsmatrix mit sich selbst potenzieren, es kommt genau sie ja wieder raus, oder?

Nehmen wir als Beispiel m = 3
Dann haben wir doch dastehen:

A x A x A x A-1 x A-1 x A-1 =

= A x A x (A x A-1) x A-1 x A-1 =

= A x A x En x A-1 x A-1 =

= A x A x A-1 x A-1 =

= A x (A x A-1) x A-1 =

= A x En x A-1 =

= A x A-1 =

= En


Verstehe ich das richtig?

Ist dann die Inverse von Am

(A-1)?

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wenn du es ganz ordentlich machen willst, dann beweise

(A^m)-1 = (A-1) mit vollst Induktion.  etwa so:

für m=1  klar

gilt es für m, dann

(Am+1)-1= ( Am * A ) -1 und das ist gleich   A-1*A-m weil

(Am * A)*(  A-1*A-m) = E wie die Umformung zeigt:

(Am * A)*(  A-1*A-m) =   Ass.gesetzt

(Am * (A*  A-1)*A-m) = (Am * E*A-m)= Am *A-m = E nach Ind.vor.

und wenn also nun (Am+1)-1=   A-1*A-m 

dann ist dies nach der Def. von A-m auch gleich A -(m+1) .  q.e.d.

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