Die Zufallsvariable X sei negativ binomialverteilt zu den Parametern n ∈ N und p ∈ (0, 1), d.h. es gilt
$$ { P }_{ X }(\left\{ k \right\} )={ B }_{ n,p }^{ - }(\left\{ k \right\} )=(\begin{matrix} n+k-1 \\ k \end{matrix}){ *p }^{ n }*(1-p)^{ k }=(\begin{matrix} -n \\ k \end{matrix}){ p }^{ n }(p-1)^{ k }$$
wobei \( (\begin{matrix} -n \\ k \end{matrix}) := \frac { (-n)(-n-1)...(-n-(k-1)) }{ k! } \)
1a) Zeigen Sie, dass für die erzeugende Funktion gilt fX(t)=$$\left( \frac { p }{ 1-(1-p){ t } } \right) ^{ n }$$
1b) Sei Y eine von X unabhängige, zu den Parametern m und p (m ∈ N) negativ binomialverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y.
1c) Bestimmen Sie E[X] und Var(X).
Hinweise:
• Benutzen Sie in (b) und (c) erzeugende Funktionen.
• Sie dürfen ohne Begründung verwenden, dass gilt \( (1 + x)^{-n} = \sum _{ k=0 }^{ \infty } (\begin{matrix} -n \\ k \end{matrix}){ x^{ k } } \)
