Matrix a mit Basis aus ihrer Eigenvektoren

Question

gegeben Sei folgende Matrix :

$$ \left( \begin{matrix} 3 & 0 & 4 \\ 0 & 5 & 0 \\ 4 & 0 & -3 \end{matrix} \right)  $$

Frage : Besitzt die Matrix A eine Basis aus orthogonalen, reellen EIgenvektoren? Begründen Sie.

Begründung soll sein, ohne die EIgenwerte bzw. EIgenvektoren auszurechnen.

Mein Ansatz: Laut Formelsammlung weiß ich, dass die EIgenvektoren einer Symmetrischen Matrize orthogonal zueinander sind. Da gilt Atransponiert = A, weiß ich das die Matrix symmetrisch ist.

Aber woher weiß ich, dass die Basis eine Basis aus den Eigenvektoren besitzt ?

Grüße

Answer 1

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  Dunkel ist der Rede Sinn.  Ein wirrer Satz; schick mir doch mal einen Kommentar, was du damit meinst bzw. dir vorstellst.  Häufig erkennt man ja schon, inwiefern ihr euch falschen Vorstellungen hingebt; bei dir ist das nicht der Fall.
   Du hast nachgeprüft, dass deine Matrix A Hermitesch ist. Damit sind ihre Eigenwerte sämtlich reell, und sie besitzt eine ortogonale Eigenbasis; sie ist ===> ortokomplementär . Also wir in Frankfurt bekamen das schon im ersten Semester gesagt; vielleicht ist das ja der Fehler, dass sie euch anderswo viel zu lange in Watte packen und um denheißen Brei drumrum reden.
   Ein witzwort besagt, die Hermiteschen Operatoren seien die reellen Zahlen unter den Matrizen.
   Jetzt klar?