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Aufgabe:

Entscheiden Sie begründet, ob es eine Basis von Eigenvektoren gibt. Stellen Sie, falls möglich, die Matrizen bezüglich der Eigenvektorbasis dar.

$$A = \left( \begin{array} { l l } { 3 } & { 2 } \\ { 2 } & { 6 } \end{array} \right) , \quad \text { b) } \quad B = \left( \begin{array} { c c } { 5 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \right) , \quad \text { c) } \quad C = \left( \begin{array} { c c } { - 5 } & { \frac { 1 } { 2 } } \\ { - 2 } & { - 3 } \end{array} \right)$$


Problem/Ansatz:

Ich habe hier bereits die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet weiß aber nicht wie ich ich dies begründe weder noch wie ich auf die Matrizen komme.

a.) 

Für λ1=2 $$\begin{pmatrix} -2x_{2}\\x_{2} \end{pmatrix}$$ Für λ2=2 $$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x_{2}\\x_{2} \end{pmatrix}$$

von

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a)

[-0.8, 1.4; 0.4, 2.8]·[-2, 1; 1, 2] = [3, 2; 2, 6]

b) und c) läuft genauso, nur das dort die Eigenvektoren viel schwieriger sind.

von 302 k

Danke für die antwort ich habe leider hier bei mir ein fehler entdeckt das λ2=7 sein muss und nicht 2. Dennoch verstehe ich nicht ganz wie du hier auf die

[-0.8, 1.4; 0.4, 2.8]·[-2, 1; 1, 2]  rechnung kommst?

Löse das Gleichungssystem

[a, b; c, d]·[-2, 1; 1, 2] = [3, 2; 2, 6]

Die Eigenvektoren [-2, 1] sowie [1, 2] konntest du ja deiner Rechnung entnehmen.

Weißt du alternativ wie eine Diagonalzerlegung gemacht wird?

Was soll denn die Matrix [a, b; c, d] darstellen? Und warum soll (c) genauso laufen?

Mir ist der Eigenvektor [1, 2] nicht klar wo man den her bekommen soll.

Sollte es nicht [0.5, 2] sein anstelle der 1? Habe das nochmal nachgerechnet und komme auf diese Matrix523423.PNG

ist dies jetzt meine gesuchte Matrix bezüglich der Eigenvektorbasis?

Statt dem Eigenvektor [0.5, 1] kannst du auch das doppelte [1, 2] nehmen.

Du hast eine Diagonalzerlegung berechnet. Das ist doch prima.

Du kannst auf der rechten Seite die erste und die letzte Matrix vertauschen und danach die ersten beiden Matritzen multiplizieren.

Ich habe nun das berechnet was du gesagt hast ist die Matrix die am ende hier rauskommt meine gesuchte Matrix für a.) ?

53423.PNG

645534.PNG

Stellen Sie, falls möglich, die Matrizen bezüglich der Eigenvektorbasis dar.

Das was auf der linken Seite steht ist die Darstellung der Matrix bezüglich ihrer Eigenvektoren.

1.)4123123.PNG oder 2.)63453452.PNG ?

Wie kommst du jetzt auf die Matrix [3, 1; 4, 6]. Da muss am ende Deine Original Matrix stehen.

Ich habe das nochmal nach gerechnet und wenn ich nicht die erste und die letzte matrix vertausche und wie hier berechne kommt das richtige raus warum sollte ich die tauschen?523423.PNG

Es steht schon in der Form von A=SDAS-1 und nicht als DA=S-1AS laut wiki somit sind die 3 ,auf der rechten Seite, die Matrizen die gesucht waren für diese Aufgabe oder seh ich das falsch?

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