Grenzwert / Epsilon- Aufgabe

Question

Ich kann die folgende Aufgabe/Rechenweg nicht nachvollziehen:

Epsilon =(1/5),  a_1 = (1/n)

 | a_1 | < Epsilon

| (1/n) | <  (1/5)  => n > 5 => n_0 = 6

=> Für alle n >= 6 gilt: 1/n < 1/5

Warum n>5, Waum < umgedreht? und n_0 =6?

Und was bringt mir das ganze?

Answer 1

Hallo Gast ba9133,

wenn ich es richtig sehe, bringt Dir das Ganze z.B. den Nachweis der Konvergenz oder Beschränkheit einer Folge ab einem gewissen n.

Zu der Berechnung:

$\vert \frac{1}{n} \vert < \frac{1}{5} \Rightarrow n > 5 \quad \forall n \geq 0$

Falls n negativ sein könnte, gäbe es noch andere Lösungen, also mögliche Beschränkungen bitte mit angeben, auch wenn ich hier davon ausgehen würde, dass n aus den natürlichen Zahlen sein soll.

$\vert \frac{1}{n} \vert < \frac{1}{5} \qquad \forall n \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{5} \qquad \vert \cdot 5 \quad \vert \cdot n$

$\Leftrightarrow \frac{5n}{n} < \frac{5n}{5}$

$\Leftrightarrow 5 < n$

$\forall n \in \mathbb{N} \quad n>5 \quad \Leftrightarrow \quad n \geq 6$

Soll heissen, falls n aus den natürlichen Zahlen und größer als 5 sein soll, muss n größer oder gleich 6 sein.

Gruß

Answer 2

Beachte

1/4 < 1/2 , Grund (Falls du dir das nicht richtig vorstellen kannst: 1/4 = 0.25 < 0.5 = 1/2 ) 

aber 4 > 2.

Analog bei deiner Ungleichung: 

| (1/n) | <  (1/5)            | Setze voraus, dass n> 0

dann hast du

1/n < 1/5

aber 

n > 5.