Intervallverschachtelung

Question

Habe ein kleines Problem und zwar habe ich noch nie zuvor eine Intervallverschachtelung gemacht, deshalb bin ich etwas überfordert mit dieser Aufgabe :(

Könnte mir jemand helfen wie ich an die Aufgabe ran gehen kann?

x³ + 5x + 1  =  1

Bestimmen Sie per Intervallverschachtelung alle Lösungen der Gleichung auf 4 Dezimalstellen genau!

Comments

x³ + 5x + 1  =  1

eine erste Lösung x=0 kannst du doch gleich erraten.

und die ist sogar auf mehr als 4 Stellen genau. 

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Diese Bemerkung ist  absolut treffend. Um eine Intervallschachtelung zu beginnen, muss man eine Vorstellung von der Größenordnung der Lösung gewinnem. Dabei wird man voraussichtlich auf  x=0 kommen. Eine Intervallschachtelung gibt bei einer rationalen Lösung wenig Sinn. Das Verfahren eignet sich besser für irrationale Lösngen, die hier aber nicht vorliegen.

Answer 1

Wie obige Bemerkungen schon andeuten, ergibt diese Aufgabe wenig Sinn. Stattdessen führe ich an einer ähnlichen Aufgabe eine Intervallschachtelung durch:

Bestimme eine Nullstelle von f(x) = x³ - 5x +1.

Man stellt fest, dass die gesuchte Nullstelle zwischen 0 und 1 liegt, weil f(0) = 1 und f(1) = -3 ist. Das erste Intervall ist dann [1; 2]. Der Graph ist in diesem Intervall linksgekrümmt. die Gerade durch (0;1) und (1;-3) hat die Gleichung y = -4x+1 und die Nullstelle x_n1 =1/4. Wegen der Linkskrümmung ist dies die neue rechte Intervallgrenze. Das zweite Intervall ist also [0; 1/4]. f(1/4)= - 15/64 und die Gerade durch (0;1) und (1/4; 15/64) hat die Gleichung y = 1 - 79/16·x und die Nullstelle x_n2 = 16/79. Das dritte Intervall ist also [0; 16/79]. Und so weiter. 16/79≈0,2025 ist bereits auf zwei Stellen hinter dem Komma genau. Das weiß man aber erst, wenn die rechte Intervallgrenze sich in den ersten zwei Stellen nicht mehr ändert.