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Aufgabe:

Für zwei Vektoren \( \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{2} \) definieren wir das innere Produkt (Skalarprodukt) über deren Darstellungen \( \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right), \mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right) \) bezüglich der Standardbasis \( \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} \) als

\( \langle\vec{x}, \vec{y}\rangle=\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2} \)

Ziel von Aufgabe 3 c) im letzten Übungsblatt war es, zu argumentieren, dass Rotationen \( \operatorname{im} \mathbb{R}^{2} \) lineare Abbildungen sind. Unter dieser Voraussetzungen ist es möglich Rotationen \( R_{\phi}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) als Matrizen zu beschreiben. Matrixdarstellungen von Rotationen sind sehr hilfreich, um fundamentale Eigenschaften von Rotationen zu bestimmen.

a) (3 P) Finden sie eine Matrixdarstellung \( \mathbf{R}_{\phi} \) von \( R_{\phi} \) der linearen Abbildung, welche jeden Vektor gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel \( \phi \in[0,2 \pi[ \) dreht (siehe Skizze 1) - bezüglich der Standardbasis \( \mathbf{e}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right) \).

Bestimmen sie dazu die Bilder von \( \mathbf{e}_{1} \) und \( \mathbf{e}_{2} \) unter der Rotation.

b) (4P) Zeigen sie, dass Rotationen das innere Produkt (1) erhalten:

\( \left\langle R_{\phi} \vec{x}, R_{\phi} \vec{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{R}_{\phi} \mathbf{x}, \mathbf{R}_{\phi} \mathbf{y}\right\rangle \stackrel{!}{=}\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle \quad \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{2}, \forall \phi \in[0,2 \pi[ \)

Folgern sie daraus, dass Rotationen die Länge \( |\vec{x}|=\sqrt{\langle\vec{x}, \vec{x}\rangle} \) eines jeden Vektors \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{2} \) ebenfalls erhalten.

c) (4P) Verifizieren sie, dass folgende Matrixidentität für zwei beliebige Rotationsmatrizen \( \mathbf{R}_{\phi}, \mathbf{R}_{\theta} \) gilt:

\( \mathbf{R}_{\phi} \mathbf{R}_{\theta}=\mathbf{R}_{\phi+\theta}=\mathbf{R}_{\theta} \mathbf{R}_{\phi} \)

Interpretieren sie diese Identität geometrisch. Was sagt dieses Resultat über den Spezialfall \( \theta=-\phi \) aus? Hinweis: Benutzen sie folgende trigonometrische Identitäten:

\( \begin{array}{l} \sin (\phi+\theta)=\sin (\phi) \cos (\theta)+\cos (\phi) \sin (\theta), \\ \cos (\phi+\theta)=\cos (\phi) \cos (\theta)-\sin (\phi) \sin (\theta) . \end{array} \)


Problem/Ansatz:

zu a)

Ist es richtig, das ich hier nur eine Matrix angeben muss?

Falls ja, wäre dann diese Matrix?

$$ \begin{pmatrix} cos\phi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\phi \end{pmatrix}$$

zu b) + c)

hier weiß ich leider keinen Ansatz und wäre dankbar für Tipps.

Avatar von

a) Schreibe dazu noch dass e1 abgebildet wird auf (cos(phi), sin(phi)) und e2 auf ....

Eine Zeichnung für ein spitzes phi , in der man das ablesen kann, wie diese Ergebnisse zustande kommen, würde ich dazu eigentlich erwarten.

b) "erhalten" bedeutet "bleibt gleich".

D.h. du sollst nachrechnen, dass bei einem rotierten Vektorenpaar immer noch das gleiche Skalarprodukt (1) resultiert, wie beim ursprünglichen Vektorenpaar.

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