K-lineare Abbildung gegeben F: R^n --> R^3

Question

Die Bijektivität habe ich bereits nachgewiesen, bei der Injektivität / Surjektivität weiß ich nicht so recht weiter. Wie muss man den Vorgehen beim Beweis mit Hilfe der Dimensionsformel; dim(F(V)) bzw. F(V) ist ja unbekannt...

Answer 1

surjektive Abbildungen dieser Art kann es nur für \( n \geq 3 \) geben, injektive nur für \( n \leq 3 \).

Für bijektive Abbildungen dieser Art muss folglich \( n = 3 \) gelten.

Mister

Comments

Vielen Dank
Für die bijektive bzw. die surjektive Abbildung bin ich auch auf die Werte für n gekommen, allerdings ist mir momentan noch etwas unklar wie man die Injektivität formell korrekt beweisen könnte...darf ich annehmen, dass dim(Kern F) = 0 gilt?

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Wenn \( n > 3 \) ist, ist die Dimension des Kerns nicht \( 0 \), da die Kerndimension \( k \) und die Bilddimension \( b \) zusammen nach Dimensionsformel gleich \( n \) ergeben:

\( k + b = n \).

Es ist

\( k + 3 \geq k + b = n > 3 \Rightarrow k > 0 \).

Um eine Kerndimension \( k = 0 \) zu ermöglichen, muss also zumindest schonmal \( n \leq 3 \) gelten.

Ist die Kerndimension nicht \( 0 \), so ist die (lineare) Abbildung nicht injektiv.