Hi,
das sieht alles etwas unübersichtlich aus. Ich mache es mal einfacher. Du hast zwei Dgl.
$$ (1) \quad V'(t) = \frac{1}{C} I(t) $$ und
$$ (2) \quad I'(t) = -\frac{\gamma}{C} I(t) + \delta\ (V_r - V(t)) $$ Aus (1) und (2) folgt
$$ (3) \quad V''(t) = \frac{1}{C} I'(t) = \frac{1}{C} \left( -\frac{\gamma}{C} I(t) + \delta\ (V_r - V(t)) \right) $$ Durch Multiplikation mit \( C \), alles auf eine Seite bringen und benutzten von (1) folgt
$$ (4) \quad C V''(t) + \frac{\gamma}{C} I(t) + \delta\ (V(t) - V_r) = \gamma V'(t) + \delta\ (V(t) - V_r) $$
Sei jetzt \( V(t) = e^{\lambda t } \) dann folgt durch differenzieren und einsetzten
$$ (5) \quad \lambda^2 C e^{\lambda t } + \lambda \gamma e^{\lambda t } + \delta e^{\lambda t } = 0 $$ Division durch \( e^{\lambda t } \) und \( C \) ergibt die charakteristische Gleichung.
Die Lösung enthält die Diskriminante \( \Delta = \gamma^2 - 4 C \delta \). Hier müssen die Fälle
$$ (a) \Delta > 0 $$ $$ (b) \Delta = 0 $$ $$ (c) \Delta < 0 $$ unterschieden werden.
Im Fall (a) gibt es zwei reelle Lösungen \( C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \text{ und } C_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t} \), im Fall (b) gibt es die Lösungen \( C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \text{ und } C_2 \cdot t \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \) und im Fall (c) gibt es die komplexen Lösungen \( C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \text{ und } C_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t} \) bzw. die reellen Lösungen $$ e^{ a } \left( C_1 \cos(b) + C_2 \sin(b) \right) $$ mit \( a = \Re(\lambda) \) und \( b = \Im(\lambda) \)
