Zeige, dass f in R^n bijektiv und gib die Umkehrabbildung an

Question

Sei \(B=\){\(x\in \mathbb{R}^n: |x|<1\)} und die Abbildung

\(f:B\rightarrow \mathbb{R}^n\) mit \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x\cdot x}}\)

wobei \(x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i\) das Standardskalarprodukt ist.

Zeige, dass \(f:B\rightarrow \mathbb{R}^n\) bijektiv ist und bestimme die Umkehrabbildung 

\(f^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow B\)

Answer 1

durch die Angabe einer Umkehrfunktion kann man zeigen, dass \( f \) bijektiv ist.

Die Umkehrfunktion ist

\( f^{-1}(y) = \frac{y}{\sqrt{1 + y \cdot y}} \),

wie sich durch Einsetzen in \( f(x) \) nachweisen lässt.

Mister

Comments

Wie kommst du auf diese Umkehrfunktion?

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Durch "Umstellen" von \( y = f(x) \) nach \( x \). Hierbei bricht man mit ein paar formalen Regeln, aber das Ergebnis dieses Ansatzes ist, wie du siehst, die Umkehrfunktion.