Direkter Beweis, vollständige Induktion, modularer Arithmetik. Es gibt ein kn Element N so, dass (2a - 1)^n - 1 = 2kn

Question

Zeigen Sie a) direkt, b) durch vollständige Induktion und c) mittels modularer Arithmetik:

\( \forall \mathrm{a}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{+}: \exists \mathrm{k}_{\mathrm{n}} \in \mathbb{N}:(2 \mathrm{a}-1)^{\mathrm{n}}-1=2 \mathrm{k}_{\mathrm{n}} \)

Answer 1

Die Behauptung ist eigentlich, dass der Term links immer eine gerade Zahl ist.

Direkter Beweis:

Nun betrachte ich (2a - 1)^n - 1
Da a Element N*, gilt 2a gerade und 2a - 1 ungerade.

Ungerade^n kann keinen Faktor 2 enthalten und ist deshalb wieder ungerade.

Nun noch - 1: Es resultiert eine gerade Zahl. Sie lässt sich als 2*eine natürliche Zahl schreiben. qed.

Comments

Oh man. Eigentlich ganz simpel wenn man sich das überlegt. Aber dann im gewünschten Augenblick darauf zu kommen ist schon klasse.