Zeigen Sie: Es sei f eine Funktion, die für x0 eine Taylorreihenentwicklung besitzt

Question

kann mir bitte einer diese Aufgabe vorrechnen? Dies ist eine Aufgabe aus einer Musterklausur.

Answer 1

Du brauchst hier nur die Taylorreihe für F(x) ableitung und zeigen das f(x) heraus kommt.

Da bei einer Ableitung die Summenregel gilt, kannst du jeden Summanden getrennt ableiten. Also damit auch einfach den Term im Summenzeichen ableiten.

Comments

ich muss diese Aufgabe auch rechnen und weiß nicht genau was gemacht werden soll. Was ich rechnen um die Aufgabe fertig zu machen?

VG Julia

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Dann bilde mal die Ableitung der Stammfunktion.

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Welche ist denn die Stammfunktion? Die zweite?

Muss ich nach dem Ableiten der Stammfunktion auf die erste Formel kommen?

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Ja genau. Du leitest F(x) ab und solltest auf f(x) kommen wenn F(x) die Stammfunktion zu f(x) ist.

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Ich habe das so gemacht und komme nicht weiter:

$$F(x) = \frac{1}{i} a_{i-1}(x-x_0)^i$$

$$= \frac{a_{i-1}(x-x_0)^i}{i}$$

Wie rechne ich weiter? Welche Ableitungsregel wende ich zuerst an?

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Welche Ableitungsregeln kennst du denn ?

Du brauchst hier alle einfachen Ableitungsregeln plus zusätzlich die Kettenregel.

Schreib dir die Ableitungsregeln auf mit Beispiel und prüfe wie und wo du die hier anwenden kannst.

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Muss ich auf dieses c vor der Summe beim Ableiten beachten?

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Konstantenregel:

Konstante (Summenden) fallen beim Ableiten weg.

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Ich komme einfach nicht weiter. Könntest du mir das bitte vorrechnen und dabei schreiben welche Regel du immer angewendet hast? Damit ich das Prinzip verstehe.

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Ich habe mal versucht alles einzeln zu rechnen und habe folgendes gemacht. Aber wie bekomme ich die -1 weg :(

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Änder einfach den index und fange einfach an ab i = 1 zu summieren anstatt bei i = 0.

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Kann man das einfach so machen?

Wie ändere ich denn den Exponenten i-1? Denn die ist bei der Rechnung entstanden.

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Du kannst auch substituieren

j = i - 1

Eventuell bekommst du dann ein besseres Verständnis.

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Ich habe das Ergebnis jetzt einfach so gemacht:

$$a_{i-1} (x-x_0)^{i-1}$$

Substituiere j=i-1

$$= a_{j} (x-x_0)^{j} = f(x)$$

Wäre die Aufgabe somit fertig?

Würde das denn so passen, mathematisch? Ich muss das nämlich hochladen und mein Prof. gibt mir dafür Punkte, die dann bei der Klausur angerechnet werden.

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Ohne das du die Summe beachtest gibt das eh Null Punkte.

Das ist doch nicht egal ob die dort steht oder nicht. Oder denkst du die steht dort aus Zierde, weil es hübscher ausschaut?

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Ok. Du scheinst das von allein nicht zu verstehen wie einfach das geht.