Beweisen, dass ein angegebenes Polynom f(x) nur einfache Nullstellen besitzt

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Mir ist nicht richtig klar, wie ich die Aufgabe am besten angehen sollte. für jede Hilfe

Answer 1

Da $f$ sich von seiner Ableitung $f'$ nur um den Term $\frac{x^n}{n!}$ unterscheidet, sprich

$f - f' = \frac{x^n}{n!}$,

ist der größte gemeinsame Teiler von $f$ und $f'$ konstant. $f'$ und $\frac{x^n}{n!}$ sind teilerfremd, weil $0$ keine Nullstelle von $f'$ aber die einzige von $\frac{x^n}{n!}$ ist.

Das heißt, dass $f$ und $f'$ keine gemeinsamen Linearfaktoren haben. Dies wiederum impliziert, dass $f$ nur einfache Nullstellen hat.

Comments

dankeschön für die Antwort!

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Bitte. Brauchst du für die anderen Teilaufgaben keine Lösung?

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Ich würde mich auch sehr über einen Tipp für die b) und die c) freuen.

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Ich würde mich über die Teilaufgaben b) und c) auch freuen..

Ich brauche die Punkte für die Zulassung.

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Was denn für eine Zulassung?

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Damit wir unsere Klausur schreiben dürfen (ich nehme mal an, wir sind in der gleichen Vorlesung). Ich finde im Skript auch gar nichts für die b) und die c), bin jetzt bei meiner Recherche auf den Satz von Rouche gestoßen und versuche den jetzt mal irgendwie zu verwerten. Weiß aber auch nicht, ob wir den verwenden dürfen.

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Ich habe jetzt einen Satz gefunden, mit dem ich zeigen kann, dass alle reellen Nullstellen in einem Intervall [-z,z] mit z wie in der b) gefordert liegen. Warum kann ich jetzt folgern, dass alle Nullstellen im Kreis mit gleichem Radius liegen? Ist mir nicht schlüssig, ich hätte auch eigentlich gedacht dass das Polynom nur komplexe Nullstellen hat.

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" Ist mir nicht schlüssig, ich hätte auch eigentlich gedacht dass das Polynom nur komplexe Nullstellen hat.  " ? 

n=1

y = 1 + x 

1+x = 0 ==> x = -1 ist schon mal eine reelle Nullstelle.