Rechteck unterhalb von y = 9-x2? Wie müssen die Werte gewählt werden?

Question

Ich habe ein Problem mit folgender Extremwertaufgabe:

Aus der Parabel y= -x(Quadrat) +9 soll ein möglichst großes Rechteck über der x-Achse ausgeschnitten werden.

Demnach müsste die Zielfunktion: a*b lauten

Meine Ansätze waren wenn a=9 ist muss b=0 sein.

Wie stelle ich die Nebenbedingungen hier auf?

Für jeden Tipp wäre ich dankbar.

Answer 1

Hallo. Hier ein mögliches Rechteck mit den Seitenlängen a= 4 und b= 5, das aber nicht unbedingt die grösste Fläche haben muss:

Plotlux öffnen

f₁(x) = -x²+9x = 2x = -2f₂(x) = 5Zoom: x(-10…10) y(-10…10)

 

Zielfunktion ist gemäss Skizze:

z(x) = 2x* (9 -x²) 

= 18x - 2x³

z ' (x) = 18 - 6x² = 0

==> 

18 = 6x²

3 = x²

√3 = x , um mal ein positives x zu wählen.

Dazu y = 9 - 3 = 6

Fläche_maximal = 2*√3 * 6 = 12*√3 

Bitte selbst nachrechnen.  

Answer 2

die Zielfunktion ist i.a nur von einer Variable abhängig, also nicht a*b :)

Die Nebenbedingung müssten sich zu

a=2*x

b= f(x)

ergeben. Dann einfach Extrempunkte berechnen :)

Answer 3

Das Rechteck hat die Höhe y und die Breite 2x. Weiterhin ist die Fläche des Rechteckes:
A = 2xy mit y=9-x²
=> A(x) = 2x*(9-x^²) = 18x - 2x³

Für welches x (bzw. y) hat diese Fläche A ein Maximum?

A'(x) = 18 - 6x² = 0  
=>  18 = 6x² | :6
=> 3 = x² 
x = +/- sqrt (3) 
y=9-x² 
=> y = 6