Ich habe hier einen Beweis zu folgendem vorliegen, den ich nicht so ganz verstehe:
Sei X ein topoligischer Raum.
X ist genau dann zusammenhängend, wenn jede stetige Abbildung f: X-> {0,1} konstant ist.
"=>" X sei zusammenhängend.
Jetzt soll gelten f(-1)(0) und f (-1)(1) sind offen in X. Warum sind diese Mengen offen?
Im Durchschnitt dieser beiden Mengen liegt nur die leere Menge. Auch hier: wieso?
Die Vereinigung der beiden Mengen ergibt genau X. Verstehe ich. Da dies die komplette Ursprungsmenge bildet.
Hierraus kann man schließen, dass eine der beiden Mengen leer sein muss. Folgt, weil zusammenhängend ist, und nicht aus der Vereinigung von zwei disjunkten Mengen bestehen kann.
Bei der Rückrichtung verstehe ich leider überhaupt nicht, was in diesem Beweis gezeigt wird
"<="
Seien U,V Teilmengen von X und offen und disjunkt . Vereinigt ergeben U und V X.
Dann ist die Abbildung f: x-> { 0 falls x Element von U
1 falls x Element von V
stetig und somit konstant und dies bedeutet U = X oder V = X
Würde mich freuen,wenn mir jemand etwas weiter helfen könnte.
