Was versteht man unter einer kontrahierenden Selbstabbildung?

Question

Wie in dem Titel beschrieben soll mit eigenen Worten einmal kurz erklärt werden, was unter der kontrahierenden Selbstabbildung verstanden wird.

Ich habe für mich folgende Erläuterung:

Eine kontrahierende Selbstabbildung ist eine Abbildung auf sich selbst, Mithilfe Iterativer Verfahren kann bestimmt werden, ob eine Kontraktion, also eine Selbstabbildung vorliegt. Wenn bei der iterativen Lösung ein Grenzwert erreicht wird, welcher bei einer erneuten iterativen Berechnung ermittelt wird, so liegt eine kontrahierende Selbstabbildung vor. Der entsprechende Grenzwert stellt den Fixpunkt dar. Eingesetzt in die entsprechende Funktion wird  dieser Wert wiederum als Ergebnis ausgegeben. Er bildet sich somit auf sich selbst ab.

Kann man ich diese Beschreibung der kontrahierenden Selbstabbildung so formulieren oder habe ich etwas fundamentales vergessen?

Answer 1

Eine kontrahierende Abbildung ist eine Abbilgung von einem metrischen Raum in den gleichen metrischen Raum die noch zusätzlich Lipschitzstetig ist mit einer Lipschitzkonstante kleiner 1. Falls der metrische Raum auch noch vollständig ist, existiert ein Fixpunkt in diesem Raum der durch die Fixpunkt Iteration berechnet werden kann.

So wie Du es geschrieben hast ist es falsch rum. Nicht durch die Konvergenz der Fixpunkt Iteration kann man nachweisen das es eine Kontraktion ist sondern genau umgekehrt.