Integralberechnung mit Residuensatz

Question

Ich möchte das Integral von -∞,∞ ∫dx/(1+x^2) mit Hilfe des Residuensatzes berechnen(Auch wenn das Integral auch anders berechnet werden kann)

Ich suche mir also meine Polstellen heraus welche √-1 oder i ist. Ich habe also einen Pol 1.Ordnung. Das Residuum berechnet sich also mit Res = lim_z→z0(z-z0)*f(z)

z0 ist in meinem Beispiel i!  Ich weiß jz nur nicht wie ich weiter machen soll. Mir ist die Grenzwert berechnung unklar weil ich doch scheinbar 0/0 dividieren möchte!

Answer 1

(z-i) * 1 / ( 1+z^2 )  = (z-i)  / (( i-z)(i+z)) = -1 / (i+z )

und für z gegen i ist das  -1 / 2i  .

Comments

Danke für die Antwort, das ist klar so weit. Ist es allerdings auch möglich das Residuum mit Hilfe des Satzes von de l'Hospital zu lösen? Müsste doch eigentlich möglich sein da es sich um eine Grenzwertberechnung handelt. Geht zwar in dem Beispiel nicht unbedingt schneller aber komme trotzdem auf das selbe Ergebnis.