Hier eine kurze Einführung in die Prädikatenlogik.
Gegeben ist eine Menge von Prädikatssymbolen A, B, C, D, ... und eine Menge von Funktionssymbolen f, g, h, ... .
Jedes Prädikatssymbol und jedes Funktionssymbol hat eine Stelligkeit. Die besagt, wieviele Werte als Eingabe benötigt werden. Hat zum Beispiel das Prädikatssymbol C die Stelligkeit 3, dann darf man C(v1, v2, v3) sagen, aber nicht C(v1, v2) und nicht C(v1, v2, v3, v4).
Die Prädikatssymbole und die Funktionssymbole zusammen mit deren Stelligkeiten nennt man Signatur.
Prädikatenlogische Terme sind
- Variablen.
- f(t1, ..., tn) wobei die t1, ..., tn prädikatenlogische Terme sind und f ein n-stelliges Funktionssymbol.
Prädikatenlogische Formeln sind
- P(t1, ..., tn) wobei die t1, ..., tn prädikatenlogische Terme sind und P ein n-stelliges Prädikatssymbol.
- (F1 ∨ F2), (F1 ∧ F2), ¬F1, (F1 → F2) und (F1 ↔ F2) wobei F1 und F2 prädikatenlogische Formeln sind.
- ∀ x F und ∃ x F, wobei x eine Variable und F eine prädikatenlogische Formeln ist.
Wie du vielleicht bemerkt hast, macht Prädikatenlogik überhaupt keinen Sinn, wenn in der Signatur keine Prädikate vorkommen. Die P(t1, ..., tn) sind ja die atomaren Formeln, aus denen andere Formeln aufgebaut werden.
Bezogen auf deine Frage:
> Wäre ∃x : x ist eine Menge , auch korrekt?
Gibt es denn in deiner Signatur ein Prädikat "ist eine Menge"? Üblich ist das in ZFC nicht, da alle betrachteten Objekte Mengen sind. In ZFC gibt es ein zweistelliges Prädikat "∈" und die Formel a∈b ist genau dann wahr, wenn die mit a bezeichnete Menge ein Element der mit b bezeichneten Menge ist. Das kann man wie folgt verwenden, um die Existenz einer Menge zu postulieren:
∃ M ∀x ((x∈M) ↔(x∈M))
Dann braucht man auch keine Gleichheit.
