Wie beweise ich, dass die folgenden Abbildungen injektiv bzw. surjektiv sind?

Question

Beweis der Injektivität:

f: ℝ^+ \ {0} → ℝ : x ↦ 1/x

f(x_1) =f(x_2) ⇒ x_1 = x_2

Bew.: Seien x_1, x_2 aus ℝ^+ \ {0} beliebig, dann gilt:

1/(x_1)=1/(x_2) ⇔ x_1 = x_2

q.e.d. 

Beweis der Surjektivität:

f: ℝ \ {0} → ℝ^+\ {0} : x ↦ x^2

für alle y aus ℝ^+\ {0} existiert ein x aus ℝ\ {0}, so dass gilt: f(x)=y

Bew.: Sei y aus ℝ^+\ {0} beliebig, dann gilt:

y=x^2 ⇔x_1= + √y bzw. x_2=-√y

q.e.d.

Ist dieser Beweis ausreichend?

Ist es egal, ob ich ℝ^+\ {0} oder ℝ^+ notiere?

Comments

Hi, mit TeX kann man auch gut Formeln schreiben: https://www.matheretter.de/rechner/latex.

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Stimmt, darauf achte ich das nächste mal :)

Answer 1

Entscheide selber, was ihr vielleicht noch ergänzen müsst. Im Prinzip ist dein Beweis bestimmt in Ordnung. 

Beweis der Injektivität von f: 

f: ℝ^+ \ {0} → ℝ : x ↦ 1/x

zu zeigen: f(x_1) =f(x_2) ⇒ x_1 = x_2

Bew.: Seien x_1, x_2 aus ℝ^+ \ {0} beliebig, dann gilt: 

1/(x_1)=1/(x_2)  | * Hauptnenner

⇒ x_1 = x_2 

q.e.d. 

Beweis der Surjektivität von f: 

f: ℝ \ {0} → ℝ^+\ {0} : x ↦ x²

Behauptung: für alle y aus ℝ^+\ {0} existiert ein x aus ℝ\ {0}, so dass gilt: f(x)=y

Bew.: Sei y1 aus ℝ^+\ {0} beliebig, dann gilt: 

y1=(x1)²  für x = √y. (ein richtiges x genügt)

q.e.d.

Ist dieser Beweis ausreichend? 

Ist es egal, ob ich ℝ^+\ {0} oder ℝ^+ notiere?

 ℝ^+\ {0}  ist möglicherweise doppelt gemoppelt.

Wie habt ihr R^{+} genau definiert? 

 Du darfst bei y = x^2 eigentlich auch R^{+} u {0} nehmen.