A und B seien Ereignisse mit A∪B = Ω. Sind A und B abhängig oder unabhängig, wenn sie echte Teilmengen von Ω sind?

Question

Die Fragestellung steht im Titel. Sind A und B abhängig oder unabhängig, wenn sie echte Teilmengen von Ω sind und warum? Vielleicht hat jemand eine anschauliche Lösung.

Answer 1

Gegeben sei ein Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω = {1,2,3} und die Ereignisse A = {1,2} und B = {2,3}.

Dann ist P(A) = P(B) = 2/3 und P(A∩B) = 1/3. Also ist P_A(B) = P(A∩B)/P(A) = 1/2 ≠ P(B).

Somit sind A und B stochastisch abhängig.

Allgemeiner betrachtet:

> A∪B = Ω.

Also P(A∪B) = 1. Es ist immer

        P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),

in diesem Fall also insbesondere

        1 = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Formt man diese Gleichung etwas um, so bekommt man

        P(A∩B)/P(A) = 1 + P(B)/P(A) - 1/P(A).

Stochastische Unabhngigkeit liegt vor, wenn P(A∩B)/P(A) = P(B) ist. Es ist also zu prüfen, unter welchen Bedingungen

        P(B) = 1 + P(B)/P(A) - 1/P(A)

sein kann. Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn P(B) = 1 ist, was im Widerspruch dazu steht, dass B echte Teilmenge von Ω ist.

Comments

Herzlichen Dank für diese ausführliche und erkenntnisbringende Antwort! :-)