menge komplexe zahlenebene

Question

Zeichnen sie folgende Menge in die komplexe Zahlenebene: {z ∈ℂ; (1+z²)∈ℝ⁺} . Habe nen Tutor gefragt und er meinte, dass ich mit x*y=0 arbeiten soll und dann eine Fallunterscheidung machen soll. Aber wie komme ich auf den Zusammenhang x*y=0??

Comments

Hast Du schon eine Idee entwickelt, wie Du ueberhaupt zu x und y kommst? In 1 + z² kommt schliesslich weder das eine noch das andere vor.

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z=x+iy... So sind ja komplexe Zahlen definiert denke ich

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Ja und? Weiter im Text ...

x + iy sollst Du für z einsetzen und das dann ausrechnen.

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Also, ich wollte jetzt eig einfach eine schnelle Antwort und nicht auf meinem Handy alles abtippen was ich schon auf meinem Block stehen habe, aber ich komme raus auf: 

1+x²+2xyi+y²i²=1+x²-y²

Wobei: 1+x^2-y^2>0 und xy=0

Dann kommt die Fallunterscheidung

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Also bitte, geht doch. Vorhin wolltest Du noch wissen, wie man auf xy = 0 kommt. Loese Deine Uebungsaufgaben selber, dazu sind sie gedacht. Du hast jetzt alles zusammen.

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Alter...ich habe ja die Lösung schon seit Anfang an, weil der Tutor mich auf diesen Zusammenhang hingewiesen hat!!! Meine Frage war von Anfang an, warum der Zusammenhang xy=0 gültig ist, das verstehe ich nicht. Warum ist nicht nur das y vor dem i gleich Null? Warum kann es auch sein dass x gleich null ist. Ich möchte auch wissen was ich da hinschreibe :P

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Milchbubi ... Wie viele i sind denn in einer positiven reellen Zahl drin? Arg viele?

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Also ich habe mich jetzt mal meine Antwort auf nem anderen Forum zum Glück bekommen: Falls das mal jmden in Zukunft interessiert: Das eine i hat sich nicht rauskürzen lassen, da die Gleichung aber nur auf R+ definiert ist, muss Imz=0 sein also muss der ausdruck 2xyi null ergeben. Dies ist nur möglich wenn x oder y null werden. Peace out

Answer 1

$$ (1+z^2) \in \mathbb{R} $$
$$ z = a+ib $$
$$ 1+(a+ib)^2$$
$$ 1+(a^2+2iab +b^2) $$
Wenn nur reelle Zahlen entstehen sollen, muss der Imaginärteil gleich Null sein, also folgt:
$$ (a\cdot b)=0 $$