Teilbarkeit beweisen

Question

Ich soll beweisen das n^5-n durch 5 teilbar ist. 

Vollständige Induktion ist nicht nutzbar da n element der ganzen Zahlen ist.

Nun, also anders. Kann ich vielleicht von den Restklassen irgendwie auf den beweis schließen? n^5-n müsste ja kongruent zu jeder anderen Zahl sein die mod 5 den selben Rest hat.

Answer 1

Du kannst hier beides verwenden, vollständige Induktion oder Restklassen.

Grüße,

M.B.

Answer 2

Auch hier würde vollständige Induktion gehen. Zeige zunächst, dass es für n = 0 gilt. Ausgehend davon zeigst du wenn es für n gilt, dann gilt es auch für n + 1 und auch für n - 1.

Damit arbeitest du dich in beide Richtungen vor. Das klappt.

n^5 - n = Eine Faktorzerlegung liefert

n·(n + 1)·(n - 1)·(n^2 + 1)

Du sieht das es für 

n = 5k

n = 5k - 1 und

n = 5k + 1 gilt.

fehlt noch 

n = 5k - 2 und 

n = 5k + 2

((5k - 2)^2 + 1) = 5·(5·k^2 - 4·k + 1)

((5k + 2)^2 + 1) = 5·(5·k^2 + 4·k + 1)

Damit hat man es auch für alle n gezeigt.