Rechnen in Vektorräumen mit Beweisen/Gegenbeispielen

Question

Ich dachte mir zuerst bei Aufgabe 1, dass wir hier eine Geradengleichung haben und dies die Situation verkompliziert. Nach längerem Überlegen bin ich die Aufgabe allgemein angegangen und habe mir überlegt ob es wirklich nur 1ne Lösung der Gleichung für λ gibt. Wenn man die Gleichung quadriert, dann besitzt man stets 2 Lösungen, denn + und - die Wurzel darauf. So einfach wird die Aufgabe aber nicht sein, deswegen frag ich hier. Danke

Comments

\(\text{(1) }\large x=\frac1\lambda(a-b)\).

Answer 1

\(1)\) Wie nn schon gesagt hat, ist die Lösung der ersten Gleichung:

$$\lambda\cdot x+b=a \Leftrightarrow \lambda\cdot x=a-b \Leftrightarrow [\lambda \in K,\lambda \neq 0]\Leftrightarrow x=\lambda^{-1}(a-b).$$

Da \(\lambda\) aus einem Körper stammt und nicht Null ist, existiert das Inverse sicher.

\(2)\) Sei \(K=\mathbb R,V=\mathbb R^2.\) Für \(a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) gilt: \(s\cdot a+t\cdot b=0 \Leftrightarrow s=t=0\), da sie eine Basis von \(V\) und damit linear unabhängig sind. Für \(s=1, t=-\lambda\) heißt das: \(s\neq0 \Rightarrow s\cdot a+t\cdot b\neq0 \Leftrightarrow s\cdot a\neq -t\cdot b.\) Und \(s\cdot a\neq -t\cdot b\) ist gerade (\(s\) und \(t\) einsetzen) \(1\cdot a\neq -(-\lambda)\cdot b\) oder vereinfacht: \(a\neq \lambda\cdot b.\)