K-Vektorraum und endlich viele Unterräume...

Question

Sei K ein Körper, sei V ein K-Vektorraum, und seien  U₁, ..., U_r endlich viele Untervektorräume von V mit U_i ≠ V. 

Zeige:

 Ist r ≤ ∣K∣ , so ist U₁ ∪ ...∪ U_r ≠ V . 

Wäre auch schön, wenn mir jemand einfach nur den Ansatz an diese Aufgabe erläutern könnte.