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Ein Becher, der die Gestalt eines halben einschaligen Rotationshyperboloids hat, hat einen Basidurchmesser d =6 cm, einen oberen Randdurchmesser D= 12,75cm und eine innere Höhe H= 7,5cm . In dem Becher ruht eine Kugel , die den Boden und die Wand berührt. Wie groß ist der frei bleibende Raum im Becher?

Volumen eines Rotationshyperboloids mit integrierter Kugel berechnen

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Kennt sich niemand aus? Ich bräuchte  Hilfe bei diesem Beispiel
alles Liebe

Damit derjenige, der hier antwortet, weiss, was du verstehen könntest.

1. halben einschaligen Rotationshyperboloids 

In welcher Form kennst du denn die Gleichung für diese Form?

2. Hast du eventuell eine Skizze?

3. Mit welcher Formel für Rotationsvolumen sollst du integrieren?

Die Hyperbelformel :

b2x2-a2y2=a2b2

bzw. Parabel y= ax2+b

 

eine Skizze ist nicht gegeben 

1 Antwort

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Ich nehme mal die normale Gleichung eines Rotationshyperboloids

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 - z^2 / c^2 = 1

Da ich hier nur mal einen Querschnitt an der mit der xz Ebene betrachte ist y = 0

x^2 / a^2 - z^2 / c^2 = 1

Nun habe ich zwei Punktbedingungen

P(6/2 | 0)
P(12.75/2 | 7.5)

3^2/a^2 - 0^2/c^2 = 1
3^2/a^2 = 1
3^2 = a^2
a = 3

6.375^2/a^2 - 7.5^2/c^2 = 1
6.375^2/3^2 - 7.5^2/c^2 = 1
289/64 - 225/4/c^2 = 1
225/4/c^2 = -(1 - 289/64) = 225/64
225/4 = -(1 - 289/64) = 225/64*c^2
c^2 = (225/4) / (225/64) = 16
c = 4

Damit lautet die Gleichung des Rotationshyperboloids

x^2 / 9 - z^2 / 16 = 1

Skizze:

 


Rotationsintegral für das Volumen

x^2 / 9 - z^2 / 16 = 1
x = 3·√(z^2 + 16)/4
f(x) = 3·√(x^2 + 16)/4

Das Volumen wäre damit

∫ (0 bis 7.5) (pi·(3·√(x^2 + 16)/4)^2) dx
∫ (0 bis 7.5) (9/16·pi·(x^2 + 16)) dx
∫ (0 bis 7.5) (9/16·pi·x^2 + 9·pi) dx = 18765/128·pi = 460.6 cm^3

Nun wäre als erster Schritt zu klären ob ich die richtigen Annahmen getroffen habe und ob ich richtig gerechnet habe. 

Sollte das der Fall sein wäre diesem Rotationshyperboloid eine Kugel einzubeschreiben. Ich würde da in etwa vorgehen das ich die Gleichung des Kreises in Abhängigkeit von r aufstelle. Dann soll der Kreis mit dem Graphen einen Berührpunkt haben. Also untersuche ich auf Schnittpunkte und nehme das r wo ich nur einen Gemeinsamen Punkt habe.

Willst du es zunächst mal nachrechnen und dann dich an dem Kreis probieren?

Avatar von 477 k 🚀

@Mathecoach: Skizze: y-Achse ist doch die z-Achse.

Dann würde ich x2 / 9 - z2 / 16 = 1  nach  z auflösen, wenn ich diese Formel für das Rotationsvolumen benutzen würde.

y = √(2·r·x - x^2) = 3·√(x^2 + 16)/4

Lustiger weise müsste der Kugelradius dann 3.75 cm sein. 

Ich update mal oben die Skizze.

Hallo Lu. Danke für den Hinweis. Die Frage ist um welche Achse zu rotieren ist. Ich wollte hier um die y Achse rotieren.

Die Skizze hat also eine andere Funktion als Grundlage. In der Skizze ist es so wie man es betrachtet, fürs Ratationsintegral habe ich x und y vertauscht.

Das sind die Ergebnisse am Lösungsblatt

hyp: 16x2-9y2=144

k:x2+(y-r)2 = r2 --> x2= 2yr -y2

16* (2yr-y2) - 9y2 =144

1024r2-14400 = 0 --> r= 15/4 

V= 9/ 16 * pi ∫7,5 und 0 y2 +16dy- 4pi/3 *(15/4)3 ≅ 76,3cm3

Die Hyperbelgleichung habe ich ja auch. Den Kreisradius habe ich auch. Allerdings habe ich ein falsches Volumen. 

V = 460.6 cm^3 - 4/3 * pi * 3.75^3 cm^3 = 239.7 cm^3

Das bedeutet das mein Hyperbelvolumen irgendwie falsch ist :(

WER FINDET DEN FEHLER ???

Ich habe mal das Volumen ausgerechnet.

16x2-9z2=144       | : 144

x2 / 9 - z2 / 16 = 1

x^2 /9 = 1 + z^2 /16

x^2 = 9 + 9/16 z^2

x= √(9 + 9/16 z^2)

V= π∫ (9 + 9/16 z^2) dz = 460.562     Integral von 0 bis 7.5.

r= 15/4 = 3.75 = 7.5/2 

Warum hast du dort 3.5?

VKugel= 4pi/3 *(15/4)^3 = 220.893

Stimmt Kreisradius ist bei mir auch 3.75. Hatte dort die 7 vergessen. Trotzdem kommt das Volumen ja in der Größenordnung nicht hin

Ich würde ja beinahe sagen das die Lösung mit 76,3cm3 mir etwas zu klein vorkommt, da der Obere Rand einen großen Abstand zur z Achse hat und dadurch bei Rotation auch entsprechend groß wird. Da würden mir 80 cm^3 allein vom Gefühl zu klein erscheinen. Aber vielleicht hab ich auch irgendwo einen Denkfehler gemacht. 

Die letzte Zahl von Anonym stimmt vermutlich nicht.

Es ist nicht anzunehmen, dass der Rest viel kleiner als das Kugelvolumen ist.
meine Daten sind alle Korrekt
könntet ihr mir die Punkte in die Skizze einzeichnen ?!?


und wie kommt ihr auf diesen Wer ? 6.3752 ??
wir haben c ausgerechnet ich bräuchte aber auch b um die hyperbelgleichung aufzustellen.

Kannst du mal probieren 12.75/2 auszurechnen. Vermutlich sollte dort etwas um die 6 rauskommen.

Du brauchst kein b um die Hyperbelgleichung aufzustellen. Es war doch nicht nach der Hyperbelgleichung gefragt.

Aus symmetriegründen könnte ich mir aber eventuell vorstellen, das b genau so groß wie a ist.

Das du alle Daten korrekt angegeben ast haben wir nicht bezweifelt. Ich würde nur bezweifeln, das die Lösung auf eurem Lösungsblatt richtig ist. Aber ich lasse mich auch gerne eines besseren belehren. 

6,375 wäre das Ergebnis  also 12,75/ 2
Ist das Beispiel komplett durchgerechnet ?
Ja. Allerdings nicht auf richtigkeit geprüft. Der damalige Fragesteller meint in seiner Musterlösung kommt etwas anderes heraus. Wenn du die gleiche Aufgabe hast, kannst du es ja mal nachvollziehen und schauen ob du einen Fehler siehst.

6.3752/32 - 7.52/c2 = 1 
289/64 - 225/4/c2 = 1 

 

darf ich fragen wie du auf 289 kommst ? das müsst eigtl 6.375 ^ 2 gerechnet werden dies ist bei mir

40,6

ich hab auch nicht ganz verstanden wie wir  r berechnet haben

rechne mal 6.375^2 / 3^2 mit dem Taschenrechner aus. Meiner zeigt dann 289/64 an.

Zur berechnung von r

"Ich würde da in etwa vorgehen das ich die Gleichung des Kreises in Abhängigkeit von r aufstelle. Dann soll der Kreis mit dem Graphen einen Berührpunkt haben. Also untersuche ich auf Schnittpunkte und nehme das r wo ich nur einen Gemeinsamen Punkt habe."

√(2·r·x - x^2) = 3·√(x^2 + 16)/4

Ich mache hier mal ein paar Skizzen für r = 3 bis 4

Gesucht ist genau das r, für das es nur eine Lösung gibt.

ich komme auf 40.6 / 9 im taschenrechner :S
Kann der Taschenrechner 40.6/9 nicht ausrechnen ?

Dann kauf dir einen neuen :P

Außerdem sind die 40.6 gerundet. Die würde ich so nicht angeben.

6.375 = 51/8

(51/8)^2 = 2601/64

2601/64 / 9 = 289/64

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