Abstand zwischen Punkt und Ebene, wenn 3 Punkte zur Ebenendefinition gegeben sind

Question

Hallo.

Ich habe drei Punkte gegeben, die eine Ebene definieren. Gibt es eine Möglichkeit, den Abstand von einem beliebigen Punkt zur Ebene zu berechnen, ohne die Ebenengleichung dafür zu verwenden? Über Normalenvektor oder Projektion?

Vielen Dank

Answer 1

Gehe über das sogenannte Spatprodukt(Volumen eines Spats = Parallelepipeds) und teile den Betrag davon durch den Betrag eines Vektorprodukts (Grundfläche). Vektoren für die Produkte geeignet auswählen. 

Comments

Kompliment! Echt schlau!

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Danke. Ich habe noch folgende Formel dazu, n ist Normalenvektor:

d=(Betrag von PQ mal n) / Betrag von n

n ist klar, aber was genau ist mit Vektor PQ gemeint? Einer der beiden Punkte P oder Q ist sicher der Punkt, dessen Abstand zur Ebene gesucht ist, aber was wäre dann der zweite Punkt? Oder liege ich ganz falsch?

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Einer der beiden Punkte P oder Q ist sicher der Punkt, dessen Abstand zur Ebene gesucht ist, aber was wäre dann der zweite Punkt? Oder liege ich ganz falsch? 

Der andere ist ein beliebiger Punkt der Ebene. D.h. du solltest mit A, B und C dasselbe Resultat rausbekommen. 

Du hast E durch die Punkte A,B,C und n= AB x AC genommen? Dann ist der Weg i.O. Der Zähler in deiner Formel entspricht dann dem Betrag des Spatprodukts [AP,AB, AC]

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Ich hatte es genau so gemacht, dass ich einen beliebigen Punkt der Ebene mit dem Punkt außerhalb der Ebene als Vektor PQ genommen habe. Habe schon mehrfach nachgerechnet, komme aber nicht auf die richtige Lösung.

Ein Punkt aus Ebene: P=(7;5;-1). Punkt S=(4;11;6). Normalenvektor ist n=(3;2;-6).

d= /PQ mal n/ geteilt durch /n/

meine Rechnung:

PS=(4;11;6)-(7;5;-1)=(-3;6;7)

(-3;6;7) mal (3;-2;6)=(-9;-12;42). Betrag davon:√(9²+12²+42²)=44,598

Betrag von Normalenvektor=√(9+4+36)=√(49)

--> 44,598/√(49)= 6,37

Laut Lösungsbuch soll aber 3 herauskommen. Ich finde meinen Fehler nicht.

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Gib mal die gegebenen Punkte und deine vollständige Rechnung an. 

Ausserdem kannst du dein Resultat / die Kontrolllösung ja überprüfen, indem du die Hessesche Normalform der Ebenengleichung bestimmst... 

Übrigens Skalarproukt: (-3;6;7) * (3;-2;6)= -3 - 12 - 42 

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Hier meine bisherige Rechnung.

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Ich hatte oben noch ergänzt, dass du über dem Bruch ein Skalarprodukt zu berechnen hast. - Kein Vektorprodukt. 

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Vielen Dank, ich hatte das Skalarprodukt wirklich falsch berechnet.

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Freut mich, wenn es jetzt geklappt hat :)