Multiplikative Inverse von 6111 in Z/6211

Question

Ich soll folgenden Aufgabe lösen, weiss aber nicht genau was mit dem multiplikativen Inverse gemeint ist und wie ich vorgehen muss. Kann mir jemand ein Anhaltspunkt geben? Wäre super.

Answer 1

zuerst einmal heißt es nicht \( \Bbb Z/6211 \), sondern \( \Bbb Z/6211 \Bbb Z \).

Bei Verknüpfungen sucht Du zuerst ein Neutrales, d.h. ein \( n \) mit \( \forall ~ a : a \circ n = a \).

Dann suchst Du für ein bestimmtes \( a \) sein zugehöriges Inverses, d.h. \( a \circ a^{-1} = n \).

Konkret sucht Du hier das multiplikative Inverse zu 6111, d.h. es muss gelten \( 6111 \cdot 6111^{-1} = 1 \), und das alles in \( \Bbb Z/6211 \Bbb Z \).

Finden kannst Du das Inverse mit dem Euklidschen Algorithmus. (Du solltest allerdings erst ein mal sicherstellen, dass es dieses Inverse überhaupt gibt, das ist nämlich nicht selbstverständlich.)

Grüße,

M.B.

Comments

Also wenn ich das so rechne dann komme ich auf 550 und 559. Wie komme ich von da nun auf das Inverse? Die Lösung wäre ja 5652 oder?

Answer 2

6211 ist eine Primzahl, also gibt es zu jedem, das nicht 0 ist,  in Z/6211 ein multiplik. Inverses.

6111= 7*9*97

Und du kannst die Inversen für jedem Faktor einzeln bestimmen.

Für die 7 brauchst du also ein x mit  7*x ≡ 1  mod 6211

bzw              7*x = 1 + n*6211

Bisschen probieren zeigt:   1+3*6211 ist durch 7 teilbar

denn    1+3*6211  = 18634 = 7*2662 

Also ist  2662 das Inverse zu 7

Ähnlich findest du

1+8*6211 = 49689 = 9*5521  

also ist 5521 invers zu 9 und bei der 97 hast du

1+32*6211=198753 = 97*2049

Dann ist also das Inverse von 6111 die Klasse in der

2049 * 5521 * 2662 liegt und das ist mal erst

2049*5521 = 11312529 =   2298  mod 6211

und 2298 * 2662 =  6117276 = 5652 mod 6211


Also ist 5652 das gesuchte Inverse:


Probe   5652 * 6111 = 34539372  = 5561*6211 + 1   Passt !

Comments

wie schön, dass wir mal wieder "rumprobieren". So ist wahrscheinlich auch der Flughafen in Berlin gebaut worden.

Es gibt einen Algorithmus zur Berechnung, also benutze ihn gefälligst.

Grüße,

M.B.

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wenn es um echte "Methoden" geht, gebe ich Dir recht, es ist oft hilfreich oder interessant, auch andere Lösungsmethoden zu sehen oder kennenzulernen.

Bei den "Lösungen", die hier aber oft angeboten werden, sollte man lieber von "Idiotenvielfalt" reden.

Und probieren gehört ganz sicher zu Letzterem.

Grüße,

M.B.

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