Kern und die Basis des Kerns

Question

hey,

wie komme ich auf den Kern und auf die Basis des Kerns dieser Darstellungsmatrix:

\( A=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {-1} & {3} \\ {-1} & {-1} & {2} & {-1} \\ {3} & {3} & {0} & {4} \\ {-3} & {1} & {4} & {4}\end{array}\right) \)

Comments

Gegeben sei die lineare Abbildung φ : R⁴ → R⁴ mit darstellender Matrix (bezüglich der Standardbasis im R 4 )

Bestimmen Sie eine Basis des Kerns und des Bilds der linearen Abbildung. Welchen Rang hat die Matrix A? 

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Bestimmen Sie eine Basis des Kerns und des Bilds der linearen Abbildung. Welchen Rang hat die Matrix A? Ist die Abbildung injektiv oder surjektiv?

Answer 1

Löse das Gleichungssystem Ax=0. Dann kommst Du auf die Lösung

$$ x=\lambda \begin{pmatrix}  3 \\ -11 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} $$

Comments

Das ist der Kern der Matrix, richtig? Wie finde ich nun die "Basis des Kerns"?

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Ja, das ist der Kern. Der Kern wird also von einem Vektor erzeugt, der zwangsläufig linear unabhängig ist.

Dann ist eigentlich klar, was die Basis ist, nämlich eben dieser  eine Vektor.