Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL

Question

Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden DGL mit Trennung der Variablen, Variation der Konstanten oder über die Methode der exakten DGL.

y' +cos²(x)y = 1+ cos(2x)

Hinweis: cos²(x) - sin²(x) = cos(2x) und (x+sin(x)cos(x))' = 2cos²(x)

Ich wollte die Aufgabe mit Hilfe der Variation der Konstanten lösen, aber ich weiß nicht ob das möglich ist, da cos²(x) nicht linear ist.

Mein Ansatz war folgender:

Homogene DGL:

y'/y = - cos²(x)

ln(y) = - (cos(2x)sin(2x) - 2x)/4 +c

y = e hoch der komplette rechte Teil, das scheint mir nicht richtig zu sein.

Hat jemand einen Vorschlag wie ich das Problem lösen kann.

Answer 1

Ich wollte die Aufgabe mit Hilfe der Variation der Konstanten lösen, aber ich weiß nicht ob das möglich ist, da cos²(x) nicht linear ist.

-----> das geht

Es geht noch einfacher durch ausmultiplizieren:

y= 2 +C e^ (-1/2)( x+cos(x) sin(x))