Nachweis das Supremum und Infimum in der Bildmenge enthalten sind

Question

Sei I⊂ℝ ein Intervall und f:I→ℝ stetig und beschränkt, also M≥|f(x)| für alle x∈ I.

Zeige:

Dann ist  inf f(I), sup f(I) ⊂ f(I) und  f(I) somit ein Intervall. Warum eigentlich, wieso sollte f(I) kein Intervall sein?

Also:

Gegeben ist die Funktion, welche beschränkt ist und somit, wie jede beschränkte Menge(in diesem Fall, die Menge der Funktionswerte) in ℝ ein Supremum und Infimum besitzt.

Sei supf(I) und inf f(I) also gegeben, ja und weiter komme ich aktuell nicht...

Wenn ich zeigen könnte, dass I kompakt ist, könnte ich mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß auf ein Minimum und Maximum für f(I) schließen, dann wären supf(I) und inf f(I) ja in f(I) enthalten und die Aussage bewiesen.

Answer 1

Gegenbeispiel:   f :  ]0;1[ ---->  IR   mit f(x) = x

ist stetig und beschränkt

hat Bildmenge f(   ]0;1[ )  =   ]0;1[  mit 

inf=0  und  sup=1 . Beide nicht in f(I) enthalten.

Oder war ein abg. Intervall vorausgesetzt. ???