Kleinsten Abstand bestimmen zwischen Gerade und Punkt.

Question

könntet ihr mir hierbei helfen? Ich bin in Mathe eigentlich sehr gut aber hier habe ich einfach überhaupt keinen Plan:

a) Gegeben sind \( g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 9\\2\\10 \end{pmatrix} + λ·\begin{pmatrix} 3\\2\\4 \end{pmatrix} \) und P(7|0|-2).

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q auf der Geraden g, der den kleinsten Abstand vom Punkt P hat.

Ermitteln Sie dazu den Extremwert der Funktion mit dem Term \( f(λ) = | \vec{PX} |^2 \).

b) Bestimmen Sie einen Punkt X auf g so, dass \( \vec{PX} ⊥ g \) ist.

c) Beschreiben Sie die verschiedenen Wege zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden.

Es geht um die Aufgabe a): Ich weiß glaub ich wie man den Abstand bestimmt, aber was bitteschön hat dieser Term f(λ) = /PX/²  damit zutun?! Wie soll man damit den Abstand bestimmen? Ich hätte ganz einfach gemacht: 

d = / (3/2/4) ° (P - A) geteilt durch / (3/2/4) / /           oder so in etwa...

Wäre wirklich toll wenn mir einer von euch hier raushelfen würde.

Comments

Ich verstehe einfach nicht, was ich mit dem Term da f(λ) anfangen soll. Wir haben in der Schule schon Abstandsberechnungen gemacht aber nicht auf diese Art, sondern halt mit Bestimmung des Normalenvektors und so... Was hat denn der Extremwert der Funktion jetzt damit zu tun?

Hilfe! Bitte...

Answer 1

Hallo \( f(\lambda )\) ist die Funktion des quadratischen Abstandes.

Länge eines Vektors v: d = sqrt(v^2) =|v|

Man nimmt f, weil der quadratische Abstand das gleiche Verhalten hat wie der Abstand selber und rechnerisch einfacher (Ableitung). Die Aufgabe a) wäre ein Beweis, das der minimale Abstand senkrecht zur Geradenrichtung ist...

Comments

aber was willst du mit der Ableitung von f berechnen?

Wie würdest du jetzt also die a) berechnen?

Kannst du deinen Rechenweg aufschreiben, damit ich deinen Gedanken nachvollziehen kann

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g(t):=(9,2,10) + t*(3,2,4)

f(t):=(P-g(t))^2

\({f(t) \, :=  \, 29 \; t^{2} + 84 \; t + 72} \)

Extremwert TIP (Scheitelpunkt) = minimaler Abstand

f'(t)=0

t = -42 / 29

Q:=g(-42 / 29)

Abstand \( d = \sqrt{f(-42 / 29)} = \frac{18}{\sqrt{29}} \)

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Wie kommst du auf diese Funktion und den Werten 84t +72

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Wie kommst du auf diese Funktion und den Werten 84t +72

Gute Frage! Da hat sich wächter anscheinend verrechnet. Es ist

$$\begin{aligned} f(\lambda) &= \left( \begin{pmatrix}7\\ 0\\ -2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}9\\ 2\\ 10\end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 4\end{pmatrix}\right)^2  \\ &=  \left( \begin{pmatrix}-2\\ -2\\ -12\end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 4\end{pmatrix}\right)^2 \\ &= 152 +116 \lambda + 29 \lambda^2\end{aligned}$$

$$f'(\lambda)=116 + 58 \lambda = 0 \quad \Rightarrow \lambda = -2$$

Im Geoknecht3D siehst Du den Punkt \(Q\) den wächter berechnet hat und den Punkt \(X(-2)\). Sieht besser aus ....

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Wie kommt man auf die 116λ und die 152?

bei 29λ^2 durch ((3)^2 + (2)^2 + (4)^2) =  29

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Wie kommt man auf die 116λ und die 152?

$$\begin{aligned} f(\lambda) &=  \left( \begin{pmatrix}-2\\ -2\\ -12\end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 4\end{pmatrix}\right)^2 \\ &= \begin{pmatrix}-2\\ -2\\ -12\end{pmatrix}^2 - 2\lambda\begin{pmatrix}-2\\ -2\\ -12\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 4\end{pmatrix} + \lambda^2\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 4\end{pmatrix}^2 \\ &= ((-2)^2 + (-2)^2 + (-12)^2) \\ &\quad - 2\lambda( -2\cdot 3 - 2\cdot 2 - 12\cdot 4 )  + \lambda^2 (3^2 + 2^2 + 4^2)  \\ &= (4+4+144) - 2\lambda(-6-4-48) + \lambda^2 (9+4+16)       \\ &= 152 +116 \lambda + 29 \lambda^2\end{aligned}$$

Answer 2

Jedem Wert des Parameters \(\lambda\) entspricht ein Punkt \(X\) auf der Geraden \(g\). Dann ist \(|\vec{PX}|\) der Abstand dieses Geradenpunktes \(X\) vom (festen) Punkt \(P\). Das gibt Anlass zur Betrachtung der Funktion \(\lambda\mapsto |\vec{PX}|\). Mithin kann man fragen, für welches \(\lambda\) der Abstand minimal wird. Man kann sich auch ueberlegen, dass die Funktion \(\lambda\mapsto f(\lambda)=|\vec{PX}|^2\) für dasselbe \(\lambda\) minimal wird, und es dann darueber berechnen.

Comments

Danke schon mal für die Antwort,

aber warum zum Quadrat?

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Die Minimalstelle aendert sich durch Quadrieren nicht. Dafuer rechnet es sich quadriert leichter. Kannst ja beide Varianten durchprobieren.