Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit?

Question

Ich bekomme diese Aufgabe irgendwie nicht hin.

Die Werte sind exponentialverteilt:  3; 15; 4; 22; 1; 30; 11; 7; 5; 42

Geben Sie einen Schätzer für den Parameter der Exponentialverteilung an. Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit P(X ≤10). 

Answer 1

gegeben ist die konkrete Realisierung $$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10})=(3,15,4,22,1,30,11,7,5,42)$$ Ich würde den Parameter $\lambda$ durch die Maximum-Likelihood-Methode schätzen. Für eine Realisierung mit $n$ Werten gilt $$g(\lambda)=f_\lambda(x_1)\cdot f_\lambda(x_2)\cdot ... \cdot f_\lambda(x_n)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\cdot (\sum_{k=1}^{n}{x_k})}$$ mit $f_\lambda$ als Dichtefunktion. Wir betrachten nun $$h(\lambda)=\ln{f(\lambda)}=n\cdot \ln{\lambda}\cdot \left(\sum_{k=1}^{n}{x_k}\right)$$ da $h$ dieselben Maximalstellen wie $g$ besitzt aber die Ableitung nach $\lambda$ wesentlich leichter zu berechnen ist (das ist aber optional; Du kannst auch $g'(\lambda)$ verwenden). Wir berechnen nun $\dfrac{d}{d\lambda}h$ $$h'(\lambda)=n\cdot \lambda^{-1}-\left(\sum_{k=1}^{n}{x_k}\right)=0\Longleftrightarrow \lambda=\dfrac{n}{\sum_{k=1}^{n}{x_k}}$$ Den Nachweis, dass es sich bei dem gefundenen \lambda um ein Maximum handelt, spare ich mir an dieser Stelle. Nun setzen wir ein: $$\lambda = \dfrac{10}{3+15+4+22+1+30+11+7+5+42}=\dfrac{1}{14}$$ Mit diesem Wissen sollte die Berechnung von $P(X\leq 10)$ nun kein Problem mehr sein.

André