gegeben ist die konkrete Realisierung $$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10})=(3,15,4,22,1,30,11,7,5,42)$$ Ich würde den Parameter \(\lambda\) durch die Maximum-Likelihood-Methode schätzen. Für eine Realisierung mit \(n\) Werten gilt $$g(\lambda)=f_\lambda(x_1)\cdot f_\lambda(x_2)\cdot ... \cdot f_\lambda(x_n)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\cdot (\sum_{k=1}^{n}{x_k})}$$ mit \(f_\lambda\) als Dichtefunktion. Wir betrachten nun $$h(\lambda)=\ln{f(\lambda)}=n\cdot \ln{\lambda}\cdot \left(\sum_{k=1}^{n}{x_k}\right)$$ da \(h\) dieselben Maximalstellen wie \(g\) besitzt aber die Ableitung nach \(\lambda\) wesentlich leichter zu berechnen ist (das ist aber optional; Du kannst auch \(g'(\lambda)\) verwenden). Wir berechnen nun \(\dfrac{d}{d\lambda}h\) $$h'(\lambda)=n\cdot \lambda^{-1}-\left(\sum_{k=1}^{n}{x_k}\right)=0\Longleftrightarrow \lambda=\dfrac{n}{\sum_{k=1}^{n}{x_k}}$$ Den Nachweis, dass es sich bei dem gefundenen \lambda um ein Maximum handelt, spare ich mir an dieser Stelle. Nun setzen wir ein: $$\lambda = \dfrac{10}{3+15+4+22+1+30+11+7+5+42}=\dfrac{1}{14}$$ Mit diesem Wissen sollte die Berechnung von \(P(X\leq 10)\) nun kein Problem mehr sein.
André
