Eine Teilmenge X ⊆ R heißt nilpotent, falls es ein m ∈ N gibt mit: x1 ⋯ xm = 0 für alle x1, . . . , xm ∈ X. Jedes Ideal von R, das aus nilpotenten Elementen besteht, heißt ein Nilideal von R. Das Nilradikal von R ist die Summe aller Nilideale von R, i. Z.
Nil(R) = ∑{I ∣ I ein Nilideal von R} ⊴ R. Zeigen bzw. erklären Sie:
(i) Sei K ein Körper. Dann ist das Nilradikal des Matrizenringes Mat2(K) gleich dem Nullideal {0}. Dennoch enthält Mat2(K) nilpotente Elemente.
(ii) Ist I ⊴ R ein Nilideal, so ist x ∈ R nilpotent genau dann, wenn x = x + I nilpotent in R/I ist. Insbesondere folgt: Ist J ⊴ R mit I ⊆ J und J/I ein Nilideal von R/I, so ist J ein Nilideal von R.
(iii) Sind I , J ⊴ R Nilideale, so ist auch I + J ⊴ R ein Nilideal. Also ist Nil(R) ein Nilideal und Nil(R/Nil(R)) = {0}. (Hinweis : Wenden Sie (c) auf (I + J )/I an.)
Kann jemand helfen ?
