Beweis uneigentliche Integrale. a) Grenzwert von f(x) ist Null für x gegen unendlich. b) f(x) = 0 für alle x?

Question

Hey:)

wie Beweise ich diese beiden Teilaufgben?:)

Comments

$$(a)\quad\int_0^af(x)\,dx\ge af(a)\ge0$$

$$(b)\quad|f(\xi)|>\alpha\Rightarrow|f(x)|>\alpha\quad\text{fuer alle $x$ aus einer ganzen Umgebung von $\xi$}$$

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Wie kommst du genau auf die a?

Weil wenn man doch a gegen unendlich laufen lässt, ist doch der mittlere Teil größer

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$$  \int_0^a f(x) \ dx = a \ f(\xi)  $$ mit \( 0 \le \xi \le a \) Da \( f \) monoton fallend ist, folgt \( f(\xi) \ge f(a) \)

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 f ist monoton fallend, sei lim f(x)= a, a>0

lim (z-> unendlich) Integral von 0 bis z a*dx = lim a*z, da a>0 divergiert das Integral

Weil aber ein Grenzwerz existiert, weil f monoton und beschränkt (f(x)>=0) existiert  ein Grenzwert in R.

Also muss a=0 sein.

Passt das so?

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Ich hätte so argumentiert. Wenn \( \lim_{x \to \infty} f(x) = M > 0 \) gilt, folgt
$$ F(a) =  \int_0^a f(x) \ dx \ge a \ f(a) \ge a \ M $$ wegen der Monotonie und und für \( a \to \infty \) sieht man das \( F(a) \) größer als eine beliebige Schranke wird und somit das Integral nicht konvergent ist. Deshalb mus \( \lim_{x \to \infty } f(x) = 0 \) gelten.

Nochwas, schreib doch Deine Fragen so auf, dass man die Formeln auch erkennen kann, dass es geht siehst Du ja hier und ein bisschen TeX ist ja nicht schwer.

Answer 1

Ich hätte so argumentiert. Wenn \( \lim_{x \to \infty} f(x) = M > 0 \) gilt, folgt
$$ F(a) =  \int_0^a f(x) \ dx \ge a \ f(a) \ge a \ M $$ wegen der Monotonie und und für \( a \to \infty \) sieht man das \( F(a) \) größer als eine beliebige Schranke wird und somit das Integral nicht konvergent ist. Deshalb mus \( \lim_{x \to \infty } f(x) = 0 \) gelten.

Nochwas, schreib doch Deine Fragen so auf, dass man die Formeln auch erkennen kann, dass es geht siehst Du ja hier und ein bisschen TeX ist ja nicht schwer.